2.2 函数的单调性与最值(一)（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数单调性与最值专题，依据课标要求和高考评价体系，系统梳理单调性定义、单调区间、最值判定等核心考点，通过真题分析明确单调性判断、证明及复合函数单调性为高频考点，归纳定义法、导数法等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于融合高考真题训练与应试技巧指导，如2024湖南模三奇函数单调性题、唐山模拟复合函数单调区间题，通过“同增异减”法则培养数学思维，结合定义证明步骤训练数学语言表达。特设易错点诊断和对点练习，帮助学生掌握得分技巧，为教师提供系统复习框架，助力高效备考。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第二章 函数 01 2．2　函数的单调性与最值(一) [课标要求] 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．　 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(八) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 增 减 单调递增 单调递减 区间I 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(八) 函数的单调性与最值(一) 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 感谢观看 单调递减 【必备知识】 1．函数单调性的定义 (1)单调函数的定义 条件 设函数f(x)的定义域为D，I是定义域D上的一个区间，如果对于任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时 都有 都有 结论 那么就称函数y=f(x)在区间I上 那么就称函数y=f(x)在区间I上 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 单调递增 结论 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是 函数 图示 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性， 叫做y＝f(x)的单调区间． f(x0)＝M 大 小 2．函数的最大(小)值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D， 如果存在实数M满足： 条件 (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得 (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得 结论 称M是函数y＝f(x)的最 值 称M是函数y＝f(x)的最 值 f(x)≤M f(x)≥M f(x0)＝M 【必记结论】 1．(1)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (2)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 2．在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减． 3．复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”． 4．函数y＝f(x)满足∀x1，x2∈D，x1≠x2，>0(<0)⇔f(x)在D上单调递增(减)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　 ) (2)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　 ) (3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数． (　　 ) (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　 ) × × × √ 2．(多选)下列结论正确的有(　　 ) A．函数y＝|x|－1的单调递减区间是(0，＋∞) B．函数y＝－x在区间(0，＋∞)上单调递减 C．若y＝f(x)在区间I上单调递增，则函数y＝kf(x)(k<0)，y＝在区间I上都单调递减 D．若函数y＝f(x)满足∀x1，x2∈I，x1≠x2，>0(<0)，则能判定f(x)在区间I上的单调性 解析：选BD.对于A，函数y＝|x|－1的单调递减区间应为(－∞，0)，A错误； 对于B，y＝－x在(0，＋∞)上是减函数，B正确； 对于C，若y＝f(x)在区间I上单调递增，则∀x1，x2∈I，且x1<x2，有f(x2)－f(x1)>0， 由此可推出k[f(x2)－f(x1)]<0(k<0)，即y＝kf(x)在区间I上单调递减，y＝ 在区间I上不一定单调递减，如f(x)＝x，I＝[－1，1]，所以y＝在区间I 上不单调，且x＝0时没有意义，C错误； 对于D，>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(单调递减)，D正确． 3．已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，则函数的最大值为________，最小值为________． 解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝. 由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0， 于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以函数f(x)＝在区间[2，6]上单调递减， 因此，函数f(x)＝在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是. 答案：2　 4．函数f(x)＝9x2＋的最小值为________. 解析：因为f(x)的定义域为[1，＋∞)，且y＝9x2与y＝在[1， ＋∞)上均为增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9. 答案：9 5．函数f(x)＝的单调递增区间为__________________． 解析：由x2－2x－3>0得x<－1或x>3，故f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，又函数y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) 解析：选C.由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减可知a＜0， ∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴g(x)的单调递增区间为(－∞，2). 题型一　确定函数的单调性(区间) 【例1】　(1)(2024·四川成都一模)已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　　 ) A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－2) (2)(2024·湖南常德三模)已知奇函数y＝f(x)是定义域为R的连续函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则下列说法正确的是(　　 ) A．函数y＝f(x)＋x2在R上单调递增 B．函数y＝f(x)－x2在(0，＋∞)上单调递增 C．函数y＝x2f(x)在R上单调递增 D．函数y＝在(0，＋∞)上单调递增 解析：选C.因为y＝f(x)是奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x)在(－∞，0)上也为单调递增函数， 对于A：不妨令f(x)＝x，y＝f(x)＋x2＝x＋x2＝2－，所以y＝f(x)＋x2在单调递减，在单调递增，故A错误； 对于B：不妨令f(x)＝x，y＝f(x)－x2＝x－x2＝，所以y＝f(x)－x2在单调递增，在单调递减，故B错误； 对于C：y＝x2f(x)，其定义域为R， 又(－x)2f(－x)＝－x2f(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数， 取0<x1<x2，则，0<f(x1)<f(x2)，故f(x2)， 所以y1－y2＝f(x1)－f(x2)<0，则函数y＝x2f(x)在(0，＋∞)为递增函数； 所以函数y＝x2f(x)在(－∞，0)也为递增函数，且当x＝0时，y＝x2f(x)＝0， 所以y＝x2f(x)在R上单调递增，故C正确； 对于D：不妨令f(x)＝x，y＝，x≠0，由反比例函数的单调性可知y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故D错误． 思维升华　求函数的单调区间和判断函数的单调性，应先求定义域．要在定义域内求单调区间和判断单调性，常用方法：①定义法；②导数法；③图象法；④性质法． 【对点练习】　1.(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　 ) A． B． C．[1，＋∞) D． 解析：选B.g(x)＝x·|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为. (2)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　 ) A．y＝x－ B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg (x＋1) 解析：选ACD.∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0，∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg (x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确． 题型二　利用定义证明函数的单调性 【例2】　(人教A版必修一P86) 已知a＞0，函数f(x)＝x＋(x＞0)，利用定义法证明：函数f(x)在上单调递减，在上单调递增． 证明：任取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝， 因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0，x1x2＞0. 当x1，x2∈(0，]时，0＜x1x2＜a，所以x1x2－a＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在上单调递减； 当x1，x2∈[，＋∞)时，x1x2＞a， 所以x1x2－a＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在[，＋∞)上单调递增． [变式]　本例变为：a＜0，函数f(x)＝x＋(x＞0)，用定义证明函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 证明：任取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝， 因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0，x1x2＞0. 因为a＜0，所以x1x2－a＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 思维升华　利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2), 并通过因式分解、通分、配方等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号． (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及单调性的定义判断单调性． 注意：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果一般写成几个因式乘积的形式． 【对点练习】　2.试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：方法一(定义法)　设－1<x1<x2<1， 因为f(x)＝， 所以f(x1)－f(x2)＝， 由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 方法二(导数法)　f′(x)＝. 故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 对勾函数和飘带函数 对勾函数 飘带函数 形式 y＝ax＋(a>0，b>0) y＝ax－(a>0，b>0) 图象 性 质 奇偶性 奇函数 奇函数 单调性 增区间，；减区间， 增区间(－∞，0)，(0，＋∞) 渐近线 y＝ax和x＝0 x＝0 【典例】　(1)函数f(x)＝|x|－(x∈R)的图象不可能是(　　 ) 解析：选C.当m＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，选项A有可能； 当m＝1时，f(x)＝易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据对勾函数图象易得在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能； 当m＝－1时，f(x)＝易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能． (2)已知函数f(x)＝(a∈R)，方程f(x)＝4在[0，＋∞)有两个解x1，x2，记g(a)＝|x1－x2|，则下列结论正确的是(　　 ) A．函数f(x)的值域是[0，＋∞) B．若a＝－1，则f(x)的增区间为[－1，0)和[1，＋∞) C．若a＝4，则g(a)＝0 D．函数g(a)的最大值为4 解析：选B.当a＝1时，f(x)＝， f(－x)＝＝f(x)， 即f(x)为偶函数， 当x>0时，f(x)＝x＋， 则函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 由偶函数性质知f(x)min＝1＋＝2，故A错误； 当a＝－1时，f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数， 当x∈(0，1)时，f(x)＝－x＋， 易知f(x)在(0，1)上单调递减， 当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x－， 易知f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 由偶函数对称性知，f(x)的增区间为[－1，0)，[1，＋∞)，故B正确； 若a＝4时，f(x)＝， 令f(x)＝4时，则x1＝－2，x2＝2， 此时g(a)＝4，故C错误； 若a＝0时，f(x)＝|x|， 令f(x)＝4时，则x＝±4，g(a)＝8， 此时与函数g(a)的最大值为4矛盾，故D错误． 题型三　复合函数的单调性 【例3】　已知函数f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝f(5－x2)，试求g(x)的单调区间． 解：令u(x)＝5－x2，则u(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，且u(0)＝5. f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． 即u(x)的单调性是以“0”为界来划分的，f(x)的单调性是以“1”为界来划分的，由此可确定g(x)的单调性． 令5－x2＝1，则x＝±2. x (－∞，－2] [－2，0] [0，2] [2，＋∞) u(x)＝5－x2 增 增 减 减 u (－∞，1] [1，5] [1，5] (－∞，1] f(u) 减 增 增 减 f(5－x2) 减 增 减 增 所以函数g(x)的单调递减区间是(－∞，－2]，[0，2]，单调递增区间是 [－2，0]，[2，＋∞). 思维升华　求复合函数y＝f(g(x))的单调区间，一要注意先确定函数的定义域，二要利用外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，判断的依据是“同增异减”． 【对点练习】　3.(1)函数f(x)＝的单调递增区间为(　　 ) A． B．(0，1) C． 　 D． 解析：选A.令t＝，显然t＝在[0，＋∞)上单调递增． 又y＝t－t2＝－＋在上单调递增， 由得， 所以f(x)的单调递增区间是(也可写为). (2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝的单调递增区间为________． 解析：令t＝2x2－3x－2>0， 解得x>2或x<， 则f(x)的定义域为∪(2，＋∞)， 由f(t)＝在(0，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为. 答案： 【基础巩固题】 1．下列函数中，在区间(0，1)上单调递增的是(　　 ) A．y＝－x2＋1 B．y＝ C．y＝ D．y＝3－x 解析：选B.y＝－x2＋1在区间(0，1)上单调递减，故A不符合题意； y＝是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0，1)上单调递增，故B符合题意； y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0，1)上单调递减，故C不符合题意； y＝3－x在区间(0，1)上单调递减，故D不符合题意． 2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为(　　 ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[0，2] D．[0，＋∞) 解析：选B.∵y＝|x－2|＝ ∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]， 单调递增区间为[2，＋∞)， ∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞). 3．函数f(x)＝在(　　 ) A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上单调递增 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上单调递减 C．(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递增 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减 解析：选C.函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，f(x)＝，根据函数y＝的单调性及有关性质，可知f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增． 4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递增区间为(　　 ) A．(－∞，－3]，[0，3] B．[－3，0]，[3，＋∞) C．(－∞，－5)，[0，1) D．(－1，0]，(5，＋∞) 解析：选C.因为y＝在(0，＋∞)上为减函数，所以只求y＝f(x)的单调递减区间，且f(x)＞0.由图可知，使得函数y＝f(x)单调递减且满足f(x)＞0的x的取值范围是(－∞，－5)∪[0，1)，因此函数g(x)＝的单调递增区间为(－∞，－5)，[0，1). 5．如果函数y＝f(x)在区间I上是减函数，且函数y＝在区间I上是增函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”．若函数f(x)＝x2－4x＋2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”I为(　　 ) A．(－∞，－]和[，2] B．[，2] C．(0，] D．[1，] 解析：选A.因为函数f(x)＝x2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝2， 所以函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上是减函数， 又当x≤2且x≠0时，， 令g(x)＝x＋－4(x≤2且x≠0)， 则g(x)在(－∞，－]和[，2]上单调递增， 故f(x)的“可变区间”I为(－∞，－]和[，2]. 6．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　 ) A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 解析：选A.不妨令x1<x2，∴x1－x2<0， ∵>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2， 令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数． 7．(多选)下列关于函数f(x)＝的结论正确的是(　　 ) A．定义域、值域分别是[－1，3]和[0，＋∞) B．单调递增区间是(－∞，1] C．定义域、值域分别是[－1，3]和[0，2] D．单调递增区间是[－1，1] 解析：选CD.f(x)＝，则定义域满足－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，即定义域为[－1，3]； 考虑函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在[－1，3]上有最大值4，最小值0，在区间[－1，1]上单调递增，在区间(1，3]上单调递减． 故f(x)＝的值域为[0，2]，在区间[－1，1]上单调递增，在区间(1，3]上单调递减． 8．(多选)下列说法中，正确的是(　　 ) A．若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上单调递增 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数y＝－在定义域上是增函数 D．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 解析：选AD.对于A，若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则有f(x1)<f(x2)，由函数单调性的定义可知y＝f(x)在I上单调递增，故A正确； 对于B，由二次函数的性质可知，y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，由反比例函数单调性可知，y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，故C错误； 对于D，由反比例函数单调性可知，y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D正确． 9．(2024·河南南阳检测)函数y＝|x|(1－x)在区间A上是减函数，那么区间A是________． 解析：由题意得，y＝f(x)＝|x|(1－x)＝ 作出其图象如图， 由图象可知函数在区间(－∞，0)，上是减函数， 故区间A是(－∞，0)，，或其子集． 答案：(－∞，0)，(答案不唯一) 10．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________． 解析：由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)， 则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增， 当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意， 所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题． 答案：f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)(答案不唯一，如f(x)＝ 只要满足题意即可) 【综合应用题】 11．(多选)(2024·扬州调研)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)>0，g(x)>0，f(x)是减函数，g(x)是增函数，则下列说法正确的有(　　 ) A．g(x)＋f(x)是增函数 　　B．f(x)－g(x)是减函数 C．f(x)g(x)是增函数 　 　D．是减函数 解析：选BD.对于A，若g(x)＝2x，f(x)＝，则g(1)＋f(1)＝，g(－1)＋f(－1)＝，故g(x)＋f(x)不一定为增函数，A错误； 而f(x)g(x)＝1不是增函数，C错误； 对于B，因为g(x)是增函数，所以－g(x)为减函数．又f(x)是减函数，所以f(x)－g(x)＝f(x)＋(－g(x))为减函数，B正确； 对于D，因为g(x)是增函数，且g(x)>0，所以>0且单调递减．又f(x)>0，且f(x)为减函数，所以＝f(x)×为减函数，D正确． 12．(2024·湖南雅礼中学质检)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对任意正数a，b都有f(ab)＝f(a)·f(b)≠0，且当x>1时，f(x)<1，则下列结论正确的是(　　 ) A．f(x)是增函数，且f(x)<0 B．f(x)是增函数，且f(x)>0 C．f(x)是减函数，且f(x)<0 D．f(x)是减函数，且f(x)>0 解析：选D.法一　取f(x)＝(x>0)，满足题干条件，则f(x)是减函数，且f(x)>0. 法二　当x>0时，f(x)＝f()＝. 设x1>x2>0，则>1，由已知得，<1， 所以f(x1)－f(x2)＝－f(x2)＝f(x2)－f(x2)＝f(x2)[－1]<0， 即f(x1)<f(x2)，所以f(x)是减函数． 13．(2024·山西吕梁二模)已知函数y＝f(4x－x2)在区间(1，2)上单调递减，则函数f(x)的解析式可以为(　　 ) A．f(x)＝4x－x2 B．f(x)＝2|x| C．f(x)＝－sin x D．f(x)＝x 解析：选A.因为t＝4x－x2开口向下，对称轴为x＝2， 可知内层函数t＝4x－x2在区间(1，2)上单调递增， 当x＝1时，t＝3；当x＝2时，t＝4；可知t＝4x－x2∈(3，4)， 又因为函数y＝f(4x－x2)在区间(1，2)上单调递减， 所以f(t)在区间(3，4)上单调递减，即f(x)在区间(3，4)上单调递减． 对于选项A：因为函数f(x)＝4x－x2在区间(3，4)上单调递减，故A正确； 对于选项B：因为x∈(3，4)，则f(x)＝2|x|＝2x在区间(3，4)上单调递增，故B错误； 对于选项C：因为x∈(3，4)⊆，则f(x)＝－sin x在区间(3，4)上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为f(x)＝x在区间(3，4)上单调递增，故D错误． 14．给定函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象； (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性． 解：(1)f(x)，g(x)的图象如图所示． (2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减， 所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减； 当0<a≤2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，a]上单调递增； 当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，a]上单调递减． 【创新拓展题】 15．设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证： (1)f(0)＝1； (2)x∈R时，恒有f(x)>0； (3)f(x)在R上是减函数． 证明：(1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n). ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知x>0时，0<f(x)<1；当x＝0时，f(0)＝1>0； 当x<0时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1，∴f(x)＝>0. 故x∈R时，恒有f(x)>0. (3)任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]， ∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1) ＝f(x1)[f(x2－x1)－1]. 由(2)知f(x1)>0， 又x2－x1>0，∴0<f(x2－x1)<1， 故f(x2)－f(x1)<0， 故f(x)在R上是减函数． $