专题02 二项式定理（竞赛培优专项训练，11大题型）高二数学人教A版2019全国通用

专题02两个计数原理、排列与组合 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 二项展开式的正用或逆用 3 考点二 二项展开式的特定项或项的系数 4 考点三 乘积二项式的特定项或项的系数问题 5 考点四 三项展开式问题 7 考点五 求系数或二项式系数的最值 9 考点六 项的系数和问题 11 考点七 构造新二项式（赋值） 13 考点八 整除与余数问题 14 考点九 近似计算 16 考点十 杨辉三角 17 考点十一 与二项式定理有关的新定义题 23 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题18道） 【归纳重点知识】 知识点01 二项式定理 1.二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N＋) 二项式通项 Tk＋1＝an－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 (k＝0，1，2，…，n) 2.(a＋b)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式系数从，，一直到，. 知识点02 二项式系数的性质 【熟记重要结论(二级结论)】 1.求(a＋b)n(n∈N＋)的展开式中的特定项的步骤 2.求(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N＋)型展开式中问题的思路 (1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解； (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并； (3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑. 3.求(a＋b＋c)n(n∈N＋)型展开式中问题的方法 (1)因式分解法：将三项式利用因式分解变化为两个二项式，然后再用二项式定理求解问题. (2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题. (3)组合知识法：把(a＋b＋c)n看成n个(a＋b＋c)的积，利用组合知识分析项的构成. 4.求展开式中各项系数的和 在使用赋值法时，令a，b等于多少，应视具体情况而定，一般取1，－1或0，有时也取其他值. 5.求二项式系数最大项 (1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大. (2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等且最大. 6.求展开式系数最大项 求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项. 考点一 二项展开式的正用或逆用 1.若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 2．化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）化简： ． 考点二 二项展开式的特定项或项的系数 4．二项式的展开式中第5项的系数为（ ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 5．展开式中的常数项为（ ） A．40 B．60 C．80 D．120 6.展开式的7项中，系数为有理数的项共有(  )项 A．1 B．2 C．3 D．4 7.若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．常数项为15 B．各项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项的系数和为16 9．若的展开式中的系数为231，则_________________. 考点三 乘积二项式的特定项或项的系数问题 10．在的展开式中，的系数为（ ） A．260 B． C． D．220 11．的展开式中，的系数为（ ） A．60 B．30 C．45 D．15 12．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．在的展开式中，含的项的系数是（ ） A．120 B．240 C．274 D．282 14．(多选)关于的展开式，下列说法正确的是（   ） A．常数项为2 B．的系数为64 C．各项系数之和为5 D．展开式中不存在项 考点四 三项展开式问题 15．展开式中的系数为（ ） A． B． C．160 D．80 16．若，则等于（ ） A．400 B．425 C．625 D．800 17．已知，，其中为展开式中项系数，，则下列说法不正确的有（    ） A．， B． C． D．是，，，…，是最大值 18．在的展开式中，把，，，，叫做三项式系数． (1)当时，写出三项式系数，，的值； (2)类比二项式系数性质，探究，，，的等量关系，并给出证明； (3)求的值． 考点五 求系数或二项式系数的最值 19.若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则(    ) A．12 B．10 C．9 D．8 20.在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第(  )项. A． B． C．2或3 D．3或4 21.在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是 22.在的展开式中. (1)求第三项的系数； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项与系数最小的项. 考点六 项的系数和问题 23.若，则等于(   ) A． B． C． D． 24.为正实数，且，当取最小值时，的展开式中各项系数的和为(    ) A． B． C． D． 25.（多选）设，则(    ) A． B． C．中最大的是 D． 26.（多选）， 下列说法正确的是(      ) A．各项的二项式系数和为256 B． C． D． 27．（多选）已知二项式，若该二项式的展开式的二项式系数之和为16，则（    ） A． B． C．从任取两个数且，则事件“”的概率为 D．将进行排列，共有30种不同的情况 28.若二项式，则 . 考点七 构造新二项式（赋值） 29．（多选）已知函数，则（ ） A． B． C．的个位数是9 D． 30．设，则_______________. 31．，则_____________． 考点八 整除与余数问题 32．设多项式有因式x，被除后的余式为，若被除后的余式为，则（    ） A．1 B． C． D． 33．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（   ） A．2019 B．2021 C．2023 D．2025 34.（多选）(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知，则下列说法中正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则中含项的系数为48 D．若为偶数，则能被4整除 35.设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 35.被15除所得余数为 ． 考点九 近似计算 36.最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 37．的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 38．估算的结果，精确到0.01的近似值为（    ） A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16 考点十 杨辉三角 39.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 40．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 41．（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第20，21行数的最大值分别为a，b，则 42．(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（    ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 43．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《解析九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 44．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《解析九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 考点十一 与二项式定理有关的新定义题 45．（多选）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.利用算两次的思想方法或其他方法，可以得出下面有关组合数的等式，正确的是（   ） A． B． C． D． 46．早期的二项式定理给出了两数之和的正整数次幂的展开式，即，其中，.事实上牛顿还将二项式定理推广到了幂为一般实数的情形，即，其中，，，于是可以看作组合数向一般实数的推广.这种幂为一般实数的二项式定理，也叫广义二项式定理，它将二项式展开成了无穷级数，通常取前面有限的一部分项求和结果就很接近真实值. 广义二项式定理的一个重要应用就是计算一个数的指数函数值(开方就是特例)，现在以求2的平方根为例来说明. 而2的平方根准确值为1.414…，可见用二项展开式前7项的值估算可以精确到小数点后第二位.此外，广义二项式定理还可以用于求一般实数次幂函数的导数和积分、证明不等式(如贝努利不等式). (1)请仿照题意计算的近似值（精确到小数点后第二位）； (2)证明：，其中； (3)已知，请用表示. 47．高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义. (1)若，求和； (2)求 ； (3)证明： 1．(2024·河南灵宝市精英对抗赛)若，则等于（    ） A．49 B．55 C．120 D．165 2．（第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）若，则（    ）． A． B． C． D． 3．（第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛）若，其中，且，则的展开式中所有项的系数和为（    ） A．0 B． C． D． 4．(2024·安徽安庆“校长杯”数学竞赛)在二项式的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（多选）（2023·清华大学强基计划）已知是完全平方数，则（    ） A．的取值有无数个 B．的最小值小于15 C．为奇数 D． 6．(多选) (2024·河南灵宝市精英对抗赛)在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的绝对值的和为729 C．有理项有3项 D．常数项是第4项 7．（2024·南京大学强基计划）已知，的最大项是 . 8．（2024·中国科学技术大学强基计划）的小数点后第100位数字是 ． 9．（2024·海南海口高一学科竞赛）已知f（x）是定义在R上的奇函数， 且对任意 均有 则 10．(2024·全国高中数学联赛四川预赛)若，则的末尾数字0的个数为 . 11．(2024·全国高中数学联赛浙江预赛)设为正整数，且，则 ． 12．(2024·上海高三数学竞赛)计算 . 13．（第十一届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛）设函数，则时，的展开式中的常数项为 . 14．（第十二届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛）设是的展开式中x项的系数（），若，则的最大值是 . 15．（2024·全国数学极光杯竞赛）在的展开式中，若的系数为，则 ；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是 ． 16．(2023年全国中学生数学能力测评（终评）)一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为 ． 17．（2024·北京大学强基计划）已知数列 ，求第 2024 项模 5 的余数. 18．（2024·北京大学强优秀中学生寒假学堂）设，求的值 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $