专题28.1 锐角三角函数（举一反三讲义）数学人教版九年级下册

本讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，系统梳理正弦、余弦、正切的定义，特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，以及同角和互余两角的三角函数关系，通过10类题型构建从概念辨析到实际应用的学习支架。 资料以“举一反三”为特色，每题型含例题与变式，如网格图求三角函数值培养几何直观（数学眼光），证明同角关系发展推理意识（数学思维）。课中辅助分层教学，课后助力针对性练习查漏补缺，提升应用意识。

专题28.1 锐角三角函数（举一反三讲义） 【人教版】 【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】 2 【题型2 直角三角形中求正弦、余弦、正切的值】 3 【题型3 由正弦、余弦、正切的值求边长】 3 【题型4 由正弦、余弦、正切的值求坐标】 4 【题型5 与特殊角的三角函数有关的混合运算】 5 【题型6 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状】 6 【题型7 由正弦、余弦、正切的的值求角度】 6 【题型8 同角（互余）两角的三角函数的关系】 6 【题型9 锐角的三角函数的增减性】 7 【题型10 求特殊角的三角函数的值】 8 知识点1 锐角的三角函数 1. 正弦、余弦、正切的定义 如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即． 把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即． 把锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 2. 锐角A的正切、正弦、余弦都是锐角A的三角函数． 3. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有且，． 知识点2 特殊角的三角函数的值 1. 根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表： 三角函数 知识点3 锐角的三角函数间的关系 在中，，，的对边分别为a，b，c．由勾股定理可得． （1）同角三角函数间的关系：． （2）与，间的关系： 【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【变式1-2】如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 直角三角形中求正弦、余弦、正切的值】 【例2】在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，，，的值为（   ） A． B． C． D．2 【变式2-2】（2025·上海黄浦·一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【题型3 由正弦、余弦、正切的值求边长】 【例3】在中，若，，，则长为 ． 【变式3-1】如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点，点B移至点，设，，则（    ）. A． B． C． D． 【变式3-2】如果一个矩形的面积是，两条对角线夹角的正切值的倒数是，那么它的一条对角线长是 ． 【变式3-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，中，，，，为边上一动点，且，则的长度为 ． 【题型4 由正弦、余弦、正切的值求坐标】 【例4】如图，在平面直角坐标系中点在第一象限，点在x轴的正半轴上，，，将绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点坐标为 ．      【变式4-1】（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图1，在直角三角形中，．定义的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即定义的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接与x轴的正半轴的夹角为α，则点A的坐标可表示为（   ） A．（） B．（） C． D． 【变式4-2】如图，在中，，边在轴上，点的坐标为，矩形的顶点与点重合，顶点在边上，且点的坐标为，将矩形沿轴向左平移，当点落在边上时，点的坐标为 ． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 ．    【题型5 与特殊角的三角函数有关的混合运算】 【例5】（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 【变式5-1】（24-25九年级上·山东聊城·期中）计算 ． 【变式5-2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）计算：． 【变式5-3】（24-25九年级上·山东聊城·期中）定义一种运算：．例如：当时，，则的值为 ． 【题型6 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状】 【例6】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）△ABC中，，是锐角，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式6-1】（2025九年级下·全国·专题练习）在中，，，则的形状（　　） A．一定是锐角三角形 B．—定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 【变式6-2】在中，若，则是 三角形． 【变式6-3】在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【题型7 由正弦、余弦、正切的的值求角度】 【例7】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】若，则锐角的度数应是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是锐角，，那么 ． 【变式7-3】（24-25九年级上·山东东营·期中）在锐角中，若，则的余弦值是 ． 【题型8 同角（互余）两角的三角函数的关系】 【例8】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【变式8-1】若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【变式8-3】（2025九年级下·全国·专题练习）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【题型9 锐角的三角函数的增减性】 【例9】如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】若锐角满足，则的取值范围是 ． 【变式9-2】（2025九年级下·全国·专题练习）比较大小（用连接），，，，则 ． 【变式9-3】若，则 ． 【题型10 求特殊角的三角函数的值】 【例10】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】在计算的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中，，，延长到使，连接，得，设，则，，，中 ．类比这种方法，可以得到的值为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式： ， ， ． 利用这些公式求出下列三角函数值． (1) (2) 【变式10-3】经过对“锐角三角函数”一章节的学习后，小胖同学十分好奇角的三角函数值．于是他利用课余时间对其正切值进行了探究．在询问了老师、与同学研讨后，他决定通过构造已学的特殊角（如，，），以特殊角的三角函数值来解决问题．在他的提示下，请你帮助小胖同学求出：角的正切值为（　　） A．-1 B． C． D．+1 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.1 锐角三角函数（举一反三讲义） 【人教版】 【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】 2 【题型2 直角三角形中求正弦、余弦、正切的值】 4 【题型3 由正弦、余弦、正切的值求边长】 6 【题型4 由正弦、余弦、正切的值求坐标】 9 【题型5 与特殊角的三角函数有关的混合运算】 13 【题型6 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状】 14 【题型7 由正弦、余弦、正切的的值求角度】 16 【题型8 同角（互余）两角的三角函数的关系】 18 【题型9 锐角的三角函数的增减性】 21 【题型10 求特殊角的三角函数的值】 23 知识点1 锐角的三角函数 1. 正弦、余弦、正切的定义 如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即． 把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即． 把锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 2. 锐角A的正切、正弦、余弦都是锐角A的三角函数． 3. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有且，． 知识点2 特殊角的三角函数的值 1. 根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表： 三角函数 知识点3 锐角的三角函数间的关系 在中，，，的对边分别为a，b，c．由勾股定理可得． （1）同角三角函数间的关系：． （2）与，间的关系： 【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，根据锐角三角函数的定义表示出、、、，问题即可解答． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， 由锐角三角函数的定义可知，，， ∴，，，， ∴选项B的结论不正确，符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角函数的概念． 根据锐角三角函数的概念：锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，求解即可． 【详解】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变， 故选：C． 【变式1-2】如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， A、在中，故A正确； B、在中，故B正确； C、在中，故C正确； D、在中，故D错误； 故选：D 【题型2 直角三角形中求正弦、余弦、正切的值】 【例2】在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，直接根据锐角三角函数的定义解答即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴的正切值的倒数． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，，，的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 在直角三角形中，正切值定义为对边与邻边的比值，根据题意，确定角A的对边和邻边，代入计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴ 故选：D． 【变式2-2】（2025·上海黄浦·一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．作轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，作轴于点M，， 根据勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、正弦，熟练掌握正弦的定义是解题关键．先根据网格和勾股定理可得，，再根据正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，由网格可知，， ∴， ∴， 故选：D． 【题型3 由正弦、余弦、正切的值求边长】 【例3】在中，若，，，则长为 ． 【答案】26 【分析】根据余弦的定义可得，将代入即可求得的长． 【详解】解：如图，在中， ， ， ， 故答案为：26． 【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在中， ． 【变式3-1】如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点，点B移至点，设，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正弦函数，掌握正弦的定义成为解题的关键. 先根据正弦的定义表示出，然后根据线段的和差即可解答. 【详解】解：在中，,则，即, 同理：， ∴. 故选A. 【变式3-2】如果一个矩形的面积是，两条对角线夹角的正切值的倒数是，那么它的一条对角线长是 ． 【答案】 【分析】作于H．由四边形是矩形，推出，设，由三角函数，可得，，由题意：，求出a即可解决问题． 【详解】解：如图，作于H．    ∵四边形是矩形， ∴， 设，则． ∵根据题意得：， ∴，， 由题意：， ∴， ∴． 故答案为10． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【变式3-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，中，，，，为边上一动点，且，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点，设长为，则，根据，得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于点， 设长为，则， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型4 由正弦、余弦、正切的值求坐标】 【例4】如图，在平面直角坐标系中点在第一象限，点在x轴的正半轴上，，，将绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点坐标为 ．      【答案】或． 【分析】根据题意画出旋转后的图形，添加辅助线，再利用特殊三角形的性质求解即可． 【详解】如图，根据题意，要使点落在轴上，则需将绕点逆时针旋转得到或将绕点 逆时针旋转得到，      过作轴于点，过作轴于点， 由旋转性质可知：， ∴，， ∴点， 同理可得：点， 故填：或  ． 【点睛】本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式4-1】（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图1，在直角三角形中，．定义的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即定义的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接与x轴的正半轴的夹角为α，则点A的坐标可表示为（   ） A．（） B．（） C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了新定义．根据新定义得到，进一步即可得到答案． 【详解】解：过点A作轴于点H， 根据定义可知，， ∵以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限， ∴ ∴ 故选：B 【变式4-2】如图，在中，，边在轴上，点的坐标为，矩形的顶点与点重合，顶点在边上，且点的坐标为，将矩形沿轴向左平移，当点落在边上时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，一次函数的性质．利用待定系数法可求直线的解析式，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， ， ， 点， 设直线解析式为， 由题意可得：， 解得：， 直线解析式为， 当时，， 平移后点坐标为， 平移后点坐标为， 故答案为：． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解． 【详解】解：∵点，点， ∴， ， ∵， ∴， 过点作于点，    ∵，是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 设，则， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【题型5 与特殊角的三角函数有关的混合运算】 【例5】（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式5-1】（24-25九年级上·山东聊城·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）计算：． 【答案】 【分析】先计算特殊角的三角函数值，再分别计算二次根式乘法与减法运算、去绝对值、负整数指数幂运算，最后根据分数的减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数混合运算，涉及特殊角的三角函数值、二次根式混合运算、去绝对值、负整数指数幂运算等知识．熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键． 【变式5-3】（24-25九年级上·山东聊城·期中）定义一种运算：．例如：当时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的混合运算，根据，结合计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型6 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状】 【例6】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）△ABC中，，是锐角，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值与偶次方的非负性，特殊三角函数值，等腰三角形的判定等知识点，解决此题的关键是熟练运用这些知识点．由非负性及特殊三角函数值易得，，即可得到答案． 【详解】解：， ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意． 故选：C． 【变式6-1】（2025九年级下·全国·专题练习）在中，，，则的形状（　　） A．一定是锐角三角形 B．—定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，求出及的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故选：B． 【变式6-2】在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，等边三角形的判定， 根据绝对值和完全平方数非负性可得，再根据特殊角的三角函数值可得，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 【变式6-3】在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ABC一定是等腰直角三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解． 【题型7 由正弦、余弦、正切的的值求角度】 【例7】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．由得，求出，进而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 【变式7-1】若，则锐角的度数应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，由可得，据此即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是锐角，，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为： 【变式7-3】（24-25九年级上·山东东营·期中）在锐角中，若，则的余弦值是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．先根据非负数的性质得出，，由特殊角的三角函数值得出及的度数，再由三角形内角和定理得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：， ，， ，， ，为锐角， ，， ， 的余弦值是． 故答案为：． 【题型8 同角（互余）两角的三角函数的关系】 【例8】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-1】若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余两角三角函数关系：sinα=cos(90°-α)求解即可． 【详解】∵sinα=cos(90°-α)， ∴=cos(20º+α)， ∵， ∴α=50º-20º=30º， 故选：B． 【点睛】此题考查了互余两角三角函数关系，解题的关键是熟练掌握sinα=cos(90°-α)． 【变式8-2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题主要考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键． （1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可； （2）由（1）的计算可得，， ，由此变形即可求解． 【详解】（1）解：若为锐角， 建立如上图所示的直角，，， ①，， ； ②，而，， ； （2）解：由（1）可得：，， ， ． 【变式8-3】（2025九年级下·全国·专题练习）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，，，即可得出； （2）利用（1）中结论，将的分子，分母同时除以，得，进而代入求值即可． 本题考查了三角函数的定义，三角函数之间的关系，正确理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 【题型9 锐角的三角函数的增减性】 【例9】如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理，依次得到，，，由，，得到，， 由，，得到（三角形的三条高相交于同一点），结合，得到，即可求解， 本题考查了，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握通过三角函数比较角的大小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴（三角形的三条高相交于同一点）， 又∵， ∴， 故选：A． 【变式9-1】若锐角满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 【变式9-2】（2025九年级下·全国·专题练习）比较大小（用连接），，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】若，则 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小，然后化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键． 【题型10 求特殊角的三角函数的值】 【例10】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较三角函数值的大小，构造含的直角三角形，分别求得，，的值，再比较大小，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，， ∴ 设 ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 【变式10-1】在计算的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中，，，延长到使，连接，得，设，则，，，中 ．类比这种方法，可以得到的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，中，，，，作于，则，设，则，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，中，，，， 作于， 又∵是的角平分线， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，正弦，正切．熟练掌握角平分线的性质，等角对等边，正弦，正切是解题的关键． 【变式10-2】进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式： ， ， ． 利用这些公式求出下列三角函数值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是根据题目中所给公式对待求式进行变形； （1）根据，把写成，将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果； （2）根据，把写成，将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式10-3】经过对“锐角三角函数”一章节的学习后，小胖同学十分好奇角的三角函数值．于是他利用课余时间对其正切值进行了探究．在询问了老师、与同学研讨后，他决定通过构造已学的特殊角（如，，），以特殊角的三角函数值来解决问题．在他的提示下，请你帮助小胖同学求出：角的正切值为（　　） A．-1 B． C． D．+1 【答案】D 【分析】构造等腰，平分，，设，，得到，再结合等腰直角三角形的性质即可求出各线段的长度，由图可知：，即有：，解方程即可求解． 【详解】构造等腰，平分，，设，， 各角度和线段的长度如下图所示，， 由图可知：， 即有：， 整理得：， 即：，（负值舍去）， 经检验，是原方程的根， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了求解角的正切值的知识，依据特殊角构造出是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $