16.1.2幂的乘方与积的乘方 课件 2025-2026学年人教版 数学八年级上册

人教版（2024）版数学8年级上册 第16章 整式的乘法 16.1.2幂的乘方与积的乘方 同底数幂相乘，底数______，指数______. 不变 相加 可推广： am·an = _______ (m、n都是正整数) am·an·····ap =_________(m、n都是正整数) am+n 可逆用： am+n+···+p am+n =_________(m、n都是正整数) am·an 16.1.2 幂的乘方与积的乘方 16.1.2 幂的乘方与积的乘方 深化指数运算规律的探索 —— 人教版八年级数学上册 —— 一、复习回顾：衔接旧知识 1. 同底数幂的乘法法则（核心回顾）： 若m、n为正整数，则 aᵐ × aⁿ = a^(m+n) 文字口诀：同底相乘，底数不变，指数相加 2. 快速计算（检验掌握情况）： - ① 10⁴ × 10⁵ = ________ （底数不变，指数4+5） - ② a³ × a⁷ = ________ （底数不变，指数3+7） - ③ (-2)² × (-2)³ = ________ （底数不变，指数2+3，注意符号） 3. 思考新问题：若遇到(a³)²这样的式子，该如何计算？它与a³×a²有何不同？ 二、情境导入：引出幂的乘方 问题1：一个正方体的棱长为10² cm，它的体积是多少立方厘米？ 分析：正方体体积 = 棱长×棱长×棱长 = (10²)×(10²)×(10²) 可简化为：(10²)³ （3个10²相乘），这就是“幂的乘方”形式 问题2：若棱长为a³，体积可表示为(a³)³，该如何计算其结果？ 带着这些问题，我们先探索“幂的乘方”的运算规律。 三、探究活动1：幂的乘方法则 步骤1：根据乘方的意义和同底数幂乘法法则计算下列式子，观察规律 - ① (2³)² = 2³ × 2³ = 2^(3+3) = 2^(3×2) = 2⁶ - ② (a⁴)³ = a⁴ × a⁴ × a⁴ = a^(4+4+4) = a^(4×3) = a¹² （a为任意有理数） - ③ (10²)³ = 10² × 10² × 10² = 10^(2+2+2) = 10^(2×3) = 10⁶ - ④ (aᵐ)ⁿ = aᵐ × aᵐ × … × aᵐ （n个aᵐ相乘） = a^(m+m+…+m) （n个m相加） = a^(m×n) （m、n为正整数） 小组讨论：对比(aᵐ)ⁿ与a^(m×n)，你发现幂的乘方有什么规律？ 等式左边：幂的乘方（底数是幂，指数是正整数） 等式右边：底数不变，指数为左边幂的指数与乘方的指数的乘积 四、法则总结1：幂的乘方 幂的乘方法则 对于任意正整数m、n，有 (aᵐ)ⁿ = a^(m×n) 文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘 基础例题：计算下列各式 - ① (10⁵)² = 10^(5×2) = 10¹⁰ （底数10不变，指数5×2） - ② (a³)⁴ = a^(3×4) = a¹² （底数a不变，指数3×4） - ③ [(-2)²]³ = (-2)^(2×3) = (-2)⁶ = 64 （先算内层，再用法则） - ④ (xⁿ)⁵ = x^(n×5) = x^(5n) （字母指数同样适用） 易错区分：(a³)² vs a³×a² ① (a³)² = a^(3×2) = a⁶ （幂的乘方，指数相乘） ② a³×a² = a^(3+2) = a⁵ （同底数幂乘法，指数相加） 五、情境导入：引出积的乘方 问题3：一个长方体的长为2×10³ cm，宽为3×10² cm，高为4×10² cm，它的体积是多少？ 分析：体积 = 长×宽×高 = (2×10³)×(3×10²)×(4×10²) 若先计算系数部分：2×3×4 = 24，再计算幂的部分：10³×10²×10² = 10^(3+2+2) = 10⁷，最终体积为24×10⁷ = 2.4×10⁸ cm³ 问题4：若长方体的长、宽、高均为ab，体积可表示为(ab)³，该如何直接计算？这就是“积的乘方”形式。 六、探究活动2：积的乘方法则 步骤1：根据乘方的意义和乘法运算律计算下列式子，观察规律 - ① (2×3)² = (2×3)×(2×3) = (2×2)×(3×3) = 2²×3² = 4×9 = 36 - ② (ab)³ = ab×ab×ab = (a×a×a)×(b×b×b) = a³×b³ （a、b为任意有理数） - ③ (-2×x)⁴ = (-2x)×(-2x)×(-2x)×(-2x) = (-2)^4 × x^4 = 16x⁴ - ④ (a×b)ⁿ = (ab)×(ab)×…×(ab) （n个ab相乘） = (a×a×…×a)×(b×b×…×b) （n个a和n个b分别相乘） = aⁿ×bⁿ （n为正整数） 小组讨论：(ab)ⁿ与aⁿbⁿ的关系，积的乘方规律是什么？ 等式左边：积的乘方（底数是乘积形式，指数是正整数） 等式右边：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 七、法则总结2：积的乘方 积的乘方法则 对于任意正整数n，有 (ab)ⁿ = aⁿ×bⁿ 文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 拓展：(abc)ⁿ = aⁿbⁿcⁿ （三个及以上因式的积的乘方，同样适用） 基础例题：计算下列各式 - ① (2×10³)² = 2²×(10³)² = 4×10⁶ （分别乘方，再相乘） - ② (-3a)³ = (-3)³×a³ = -27a³ （注意系数的符号） - ③ (2xy²)⁴ = 2⁴×x⁴×(y²)⁴ = 16x⁴y⁸ （结合幂的乘方法则） - ④ (-a²b)⁵ = (-1)⁵×(a²)⁵×b⁵ = -a¹⁰b⁵ （单独的符号看作-1） 八、综合应用：法则融合运用 例1：计算 (a²)³ × a⁴ - (2a⁵)² 解：分步计算，先算乘方，再算乘法，最后算减法 ① (a²)³ = a^(2×3) = a⁶；② a⁶ × a⁴ = a^(6+4) = a¹⁰；③ (2a⁵)² = 2²×(a⁵)² = 4a¹⁰；④ 原式 = a¹⁰ - 4a¹⁰ = -3a¹⁰ 例2：计算 (-2x³y)² × (3xy²)³ 解：① (-2x³y)² = (-2)²×(x³)²×y² = 4x⁶y²；② (3xy²)³ = 3³×x³×(y²)³ = 27x³y⁶；③ 原式 = 4x⁶y² × 27x³y⁶ = (4×27)×(x⁶×x³)×(y²×y⁶) = 108x⁹y⁸ 例3：用简便方法计算 0.125²⁰²⁴ × 8²⁰²⁴ 解：逆用积的乘方法则：aⁿbⁿ = (ab)ⁿ 原式 = (0.125×8)²⁰²⁴ = 1²⁰²⁴ = 1 九、课堂练习：巩固提升 1. 计算下列各式（独立完成）： 1. ① (a⁴)⁵ = ________ ② (10³)⁶ = ________ ③ [(-1)⁵]² = ________ 2. ④ (3a)² = ________ ⑤ (-2xy)³ = ________ ⑥ (a²b³)⁴ = ________ 3. ⑦ (x²)³ × x⁵ = ________ ⑧ (2a³)² - 3a⁶ = ________ 2. 简便计算：2²⁰²³ × (1/2)²⁰²⁴ = ________ （提示：逆用积的乘方，拆分指数） 3. 已知aᵐ=2，aⁿ=3，求(a³ᵐ)² × (a²ⁿ)³的值（提示：先转化为含aᵐ和aⁿ的形式） 十、课堂小结：核心知识梳理 1. 两大法则对比 运算类型 法则表达式 核心口诀 幂的乘方 (aᵐ)ⁿ = a^(m×n) （m、n为正整数） 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)ⁿ = aⁿbⁿ （n为正整数） 因式乘方，再相乘 2. 关键提醒 - ① 区分幂的乘方与同底数幂乘法（指数“相乘”vs“相加”） - ② 积的乘方需将每个因式都乘方，包括系数和符号 - ③ 法则可逆用，如aⁿbⁿ=(ab)ⁿ，可用于简便计算 - ④ 多法则综合运用时，遵循“先乘方，再乘除，后加减”的顺序 情景导入 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？ 导入新知 V球= ， 其中V是体积、r是球的半径 探究新知 10 103 ＝边长2 ＝边长×边长 S正 请分别求出下列两个正方形的面积. 幂的乘方的法则(较简单的) S小 ＝10×10 ＝102 ＝103×103 S大 =(103)2 知识点 1 = 106 探究新知 请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空. 观察计算的结果，你能发现什么规律？证明你的猜想. (32)3= ___ ×___ ×___ =3( )+( )+( ) =3( )×( ) =3( ) 32 32 32 2 2 2 2 3 6 猜想：(am)n=_____. amn 探究新知 (am)n 幂的乘方法则 (am)n= amn　 (m，n都是正整数) 即幂的乘方，底数______，指数＿__＿. 不变 相乘 =am·am·am…am n个am =am+m+…+m n个m 证明猜想 探究新知 运算 种类 公式 法则 中运算 计算结果 底数 指数 同底数幂的乘法 幂的乘方 乘法 乘方 不变 不变 指数 相加 指数 相乘 am · an = am+n 探究新知 探究新知 例 计算： 解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015. (2) (a2)4 = a2×4 = a8 . (3) (am)2 =am·2=a2m . (3)(am)2； (4)–(x4)3 =–x4×3=–x12. (1)(103)5 ； (2)(a2)4； (4)–(x4)3； (6)[(–x)4]3. (5)[(x+y)2]3； (5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6 . (6)[(–x)4]3= (–x)4×3 = (–x)12 = x12. 素养考点 1 幂的乘方的法则的应用 探究新知 方法点拨 运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．在运算时，注意把底数看成一个整体，同时注意“负号”. 探究新知 探究新知 计算： ① (103)7； ② (b3)4； ③ (xn)3； ④ –(x7)7 =103×7 =1021 =b3×4 =b12 =x3n = –x7×7= –x49 ⑤[(–x)3]3 =(–x)3×3= –x9 ⑥[(–x)5]4 =(–x)5×4=(–x)20=x20 课堂练习 (–a5)2表示2个–a5相乘，结果没有负号. (–a2)5和(–a5)2的结果相同吗?为什么? 不相同. (–a2)5表示5个–a2相乘，其结果带有负号. n为偶数 n为奇数 知识点 2 幂的乘方的法则(较复杂的) 探究新知 想一想 下面这道题该怎么进行计算呢？ 幂的乘方: ＝(a6)4 =a24 [(y5)2]2=______=________ [(x5)m]n=______=________ 练一练： (y10)2 y20 (x5m)n x5mn 探究新知 例1 计算： (1) (x4)3·x6; (2) a2(–a)2(–a2)3＋a10. 解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18. (2) a2(–a)2(–a2)3＋a10 = –a2·a2·a6＋a10 = –a10＋a10 = 0. 忆一忆有理数混合运算的顺序 先乘方，再乘除 先乘方，再乘除，最后算加减 底数的符号要统一 素养考点 1 有关幂的乘方的混合运算 探究新知 方法点拨 与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项． 探究新知 计算： (1) (x3)4·x2 ； (2) 2(x2)n–(xn)2 ； (3)[(x2)3]7 ； (4)[(–m)3]2 ·(m2) 4. (1)原式= x12 ·x2 = x14. (2)原式= 2x2n –x2n =x2n. (3)原式=(x6)7 = x42. 解： (4)原式=(–m)3×2·m2×4 = m6·m8 = m14. 巩固练习 例2 已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值. (1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n． 解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27. (2)102n＝(10n)2＝22＝4； (3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108. 方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求值的式子正确变形，然后代入已知条件求值即可. 素养考点 2 指数中含有字母的幂的乘方的计算 探究新知 (1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值； (2)已知2x＋5y–3＝0，求4x·32y的值． 解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729. (2) ∵2x＋5y–3＝0， ∴2x＋5y＝3. ∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8. 完成下列题目： 巩固练习 例3 比较3500,4400,5300的大小. 分析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小,通过观察,发现指数都是100的倍数,可以考虑逆用幂的乘方法则. 解: 3500=(35)100=243100, 4400=(44)100=256100, 5300=(53)100=125100. ∵256100>243100>125100, ∴4400>3500>5300. 素养考点 3 幂的大小的比较 探究新知 方法点拨 比较底数大于1的幂的大小的方法有两种: 1. 底数相同,指数越大,幂就越大; 2. 指数相同,底数越大,幂就越大. 故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较. 探究新知 比较大小：233____322 233=(23) 11=811 ，322=(32) 11=911 . ＜ ∵811＜911， ∴233＜322. 巩固练习 解析： 1. 计算 的结果为( ) D A. B. C. D. 2. 下列等式错误的是( ) D A. B. C. D. 3. 母题教材P99探究 不能写成( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 21 4. 若，则 ( ) C A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 5. 若，则， 满足的关系是( ) D A. B. C. D. 6.若，，则 ____. 24 【点拨】， ， . 返回 考试考法 22 7.［2025东莞期中］若，则 的值是___. 4 【点拨】，， . 8.若正方体的棱长为 ，则它的体积为__________. （用科学记数法表示） 返回 考试考法 23 9.母题教材P101习题 计算： （1） ; 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 考试考法 24 10. 计算得，则与 的值可以是( ) C A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 【点拨】 . 返回 考试考法 25 12. ［2025周口月考］若 成立，则 ( ) A A. ， B. ， C. ， D. ， 【点拨】 ， ，， . 返回 考试考法 26 幂的乘方 法则 (am)n=amn (m,n都是正整数) 注意 幂的乘方，底数不变，指数相乘 幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;am ﹒an=am+n 幂的乘方法则的逆用： amn=(am)n=(an)m 课堂小结 谢谢观看！ $