专题04 函数的概念与表示（10大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题04 函数的概念与表示（10大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 4．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 5．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 6．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 7．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【知识清单2 函数的图象】 1．函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)). 当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,y)|y=f(x),x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x的图象. 2．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【知识清单3 函数的表示法】 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【知识清单4 分段函数】 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 题型1 函数关系的判断 1．（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东济宁·期末）给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式 . 5．（24-25高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 题型2 求函数值或由函数值求参 6．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数对任意x，都满足，且，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 7．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 9．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知，则 . 10．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)当时，求的值； (2)若，求实数的值. 题型3 求具体函数的定义域 11．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·云南昭通·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·广东清远·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·北京东城·期末）函数的定义域为 ． 15．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4 求抽象函数、复合函数的定义域 16．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·广西玉林·期末）函数的定义域为，则的定义域为 ． 20．（24-25高一上·河南信阳·月考）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 题型5 求函数的值域 21．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为 . 25．（24-25高一上·广西玉林·期中）根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①； ②； ③； 题型6 判断两个函数是否相等 26．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 27．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·福建漳州·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 29．（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 题型7 函数的表示法 31．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 33．（24-25高一上·广东梅州·期末）寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（    ） A．   B．   C．   D．     34．（24-25高一上·河北邯郸·期末）设函数，，且，，，，，，写出符合条件的函数的解析式 ． 35．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）国家主席习近平在2024年新年贺词中指出，“2023年，我们接续奋斗､砥砺前行，经历了风雨洗礼，看到了美丽风景，取得了沉甸甸的收获”“粮食生产“二十连丰，绿水青山成色更足，乡村振兴展现新气象”.某乡镇响应国家号召，计划修建如图所示的矩形花园，其占地面积为，花园四周修建通道，花园一边长为，且. (1)设花园及周边通道的总占地面积为，试求与的函数解析式； (2)当时，试求的最小值. 题型8 求函数的解析式 36．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·广西玉林·期中）若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·贵州安顺·期末）若，则 . 40．（24-25高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 题型9 求分段函数解析式或求函数的值 41．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 42．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 43．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．2 44．（24-25高一上·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 . 45．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数， (1)求，； (2)判断函数的奇偶性并证明． 题型10 分段函数的性质及应用 46．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·四川广元·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为 ． 50．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数 (1)求的值； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)求不等式的解集． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的概念与表示（10大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 4．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 5．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 6．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 7．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【知识清单2 函数的图象】 1．函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)). 当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,y)|y=f(x),x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x的图象. 2．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【知识清单3 函数的表示法】 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【知识清单4 分段函数】 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 题型1 函数关系的判断 1．（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义判断. 【解答过程】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断. 【解答过程】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论. 【解答过程】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应， A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象. 故选：A. 4．（24-25高一上·山东济宁·期末）给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式 . 【答案】，（答案不唯一） 【解题思路】利用函数的定义求解； 【解答过程】由函数的定义得：，（答案不唯一） 故答案为：，（答案不唯一）. 5．（24-25高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)不是集合A到集合B的函数 (2)是集合A到集合B的函数 (3)不是集合A到集合B的函数 (4)是集合A到集合B的函数． 【解题思路】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数. 【解答过程】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． （2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数． （3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数． （4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 题型2 求函数值或由函数值求参 6．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数对任意x，都满足，且，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【解题思路】令可求出，令、可求出. 【解答过程】令，则， 令，，则． 故选：C. 7．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值. 【解答过程】令，可得，故， 令可得，即，解得， 令可得，即，解得. 故选：D. 8．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】由，取可求，由，取可求，再取，，可求结论. 【解答过程】因为，取可得， 又，可得， 因为，取可得， 所以，又， 故， 由，取，， 可得， 故选：D. 9．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知，则 . 【答案】2 【解题思路】要求的值，需要先找到时的值，然后将其代入已知等式中求解. 【解答过程】令，则，得. 把代入中， 此时，那么. 故答案为：2. 10．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)当时，求的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)4； (2)或. 【解题思路】（1）将代入求解； （2）根据，求解即得. 【解答过程】（1）∵函数， ∴当时，； （2）函数的定义域为， 因为，所以， 即，解得或； 所以或. 题型3 求具体函数的定义域 11．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分别根据这两个部分对的限制条件列出不等式组，求解不等式组即可得到函数的定义域. 【解答过程】函数，定义域满足不等式组. 解不等式，可得. 解不等式，可得. 所以不等式组的解为且. 用区间表示函数的定义域为. 函数的定义域是. 故选：D. 12．（24-25高一上·云南昭通·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据解析式有意义的条件，列不等式，求解即可. 【解答过程】由题意得，且，解得，且， 所以定义域为， 故选：D. 13．（24-25高一上·广东清远·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由二次根式的被开方数非负进行求解即可. 【解答过程】由题意得，解得或． 故选：B． 14．（24-25高一上·北京东城·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【解题思路】根据题意得解出即可. 【解答过程】要使函数有意义， 则，即， 所以函数的定义域为：， 故答案为：. 15．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3){且 (4)且 【解题思路】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （2）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可； （3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （4）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可. 【解答过程】（1）， 所以定义域为； （2）， 所以定义域为； （3）且， 所以定义域为且； （4）且， 所以定义域为且. 题型4 求抽象函数、复合函数的定义域 16．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【解答过程】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 17．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由函数的定义域，得即函数的定义域，再整体代入求函数的定义域. 【解答过程】函数的定义域为，由，有， 即函数的定义域为， 令，解得，函数的定义域为. 故选：C. 18．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案. 【解答过程】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法， 在函数中，，解得且. 则定义域为. 故选：C. 19．（24-25高一上·广西玉林·期末）函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【解题思路】根据抽象函数的定义以及分式的性质即可求解. 【解答过程】由题意得，解得且．故定义域为， 故答案为：. 20．（24-25高一上·河南信阳·月考）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【解答过程】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 题型5 求函数的值域 21．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【解答过程】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D. 22．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【解答过程】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 23．（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【解答过程】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 24．（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为 . 【答案】 【解题思路】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可. 【解答过程】令，则， 所以，， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 25．（24-25高一上·广西玉林·期中）根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①； ②； ③； 【答案】(1)； (2)①；②；③. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用抽象函数定义域求法求解即可. （1）①②利用配方法，借助二次函数求出值域；③利用分式函数求值域的方法求解即得. 【解答过程】（1）在函数中，，则， 因此在函数中，，解得， 所以函数的定义域为. （2）①函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ②函数的定义域为， ，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ③函数的定义域为，， 所以函数的值域为. 题型6 判断两个函数是否相等 26．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分别求出函数的定义域和对应关系，根据函数的概念判断是否为同一函数. 【解答过程】对于A，函数的定义域为，的定义域为 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数与函数的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，与函数定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确． 故选：D. 27．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可. 【解答过程】定义域是，值域是， 对于A：定义域是，定义域不同，A选项错误； 对于B：值域是，值域不同，B选项错误； 对于C：定义域是，定义域不同，C选项错误； 对于D：定义域是，值域是，解析式可以化成相同，D选项正确； 故选：D. 28．（24-25高一上·福建漳州·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据相同函数概念，定义域相同且对应关系相同，逐个计算分析判断即可. 【解答过程】对于A选项，对于，根据根式的性质，所以，其定义域为. 而，其定义域为.但是与的对应关系不同，当时，，所以A选项错误.   对于B选项，对于，其定义域为. 的定义域为.与定义域不同，所以B选项错误.   对于C选项，对于，因为，所以，，定义域为. ，定义域为.与定义域相同，对应关系也相同，所以C选项正确.   对于D选项，对于，其定义域为，且. 的定义域为.与定义域不同，所以D选项错误. 故选：C. 29．（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】定义域相同，对应关系完全一致的两个函数为同一函数，以此逐项判断可确定选项. 【解答过程】，定义域为. A.，定义域为，与不是同一函数. B.，定义域为，与不是同一函数. C.，定义域为，与不是同一函数. D. ，定义域为，与是同一函数. 故选：D. 30．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【解答过程】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 题型7 函数的表示法 31．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，由实际背景出发确定图象的特征即可得解. 【解答过程】中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校，选项D吻合最好. 故选：D. 32．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【答案】C 【解题思路】根据表中自变量与函数值的对应关系，先求得，再求即得. 【解答过程】由表可知：，则. 故选：C. 33．（24-25高一上·广东梅州·期末）寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】B 【解题思路】先确定兔子的图象，然后根据开始兔子快，乌龟慢，以及最终乌龟赢了即可得答案. 【解答过程】由于兔子睡了一下，所以所有选项中有一段不发生变化的折线为兔子的“路程一时间” 的图像 一开始，兔子快，乌龟慢，排除选项C D， 最后乌龟赢了，即乌龟先到达终点，选项B符合. 故选：B. 34．（24-25高一上·河北邯郸·期末）设函数，，且，，，，，，写出符合条件的函数的解析式 ． 【答案】 【解题思路】通过式子相乘，化简即可求得，然后利用换元法即可求得. 【解答过程】因为，，，，， 相乘得，， 令，则，所以. 故答案为：. 35．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）国家主席习近平在2024年新年贺词中指出，“2023年，我们接续奋斗､砥砺前行，经历了风雨洗礼，看到了美丽风景，取得了沉甸甸的收获”“粮食生产“二十连丰，绿水青山成色更足，乡村振兴展现新气象”.某乡镇响应国家号召，计划修建如图所示的矩形花园，其占地面积为，花园四周修建通道，花园一边长为，且. (1)设花园及周边通道的总占地面积为，试求与的函数解析式； (2)当时，试求的最小值. 【答案】(1) (2)答案详见解析 【解题思路】（1）根据矩形面积公式求得正确答案. （2）利用基本不等式或函数的单调性，以及对进行分类讨论来求得的最小值. 【解答过程】（1）花园的一边长为，面积为花园的另一边长为. . （2）由（1）得： ， 由得， 若，则，若，则， 当时，. 当且仅当时取等号，. 当时，函数在上单调递减， 当时，取得最小值，即. 综上得：当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 题型8 求函数的解析式 36．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过化简即可得出函数的解析式. 【解答过程】因为，∴， 故选：A. 37．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 38．（24-25高一上·广西玉林·期中）若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】换元法求解函数解析式. 【解答过程】，令，则， 故， 所以. 故选：C. 39．（24-25高一上·贵州安顺·期末）若，则 . 【答案】 【解题思路】通过令，得，再结合条件，即可求解. 【解答过程】令，则，所以， 得到， 故答案为：. 40．（24-25高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用换元法，可求得函数解析式； （2）利用待定系数法，即可求得答案. 【解答过程】（1）令，则， 所以由， 得， 所以； （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以. 题型9 求分段函数解析式或求函数的值 41．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】将代入，求得函数值. 【解答过程】. 故选：C. 42．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】D 【解题思路】根据分段函数的解析式计算直接得出结果. 【解答过程】由题意知，，， 所以. 故选：D. 43．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】先求出的值，再将其作为自变量代入求出的值. 【解答过程】已知，此时函数. 把代入可得：. 由上一步得到，那么. 因为，此时函数. 把代入可得：. 故选：C. 44．（24-25高一上·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 . 【答案】 【解题思路】根据分段函数和函数的奇偶性求函数值. 【解答过程】因为，. 所以. 故答案为：. 45．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数， (1)求，； (2)判断函数的奇偶性并证明． 【答案】(1)，3； (2)偶函数，证明见解析. 【解题思路】（1）判断代入求出函数值. （2）利用函数奇偶性定义推理证明即可. 【解答过程】（1）函数，则，. （2）函数是偶函数. 当时，，， 当时，，， 而， 因此，所以函数是偶函数. 题型10 分段函数的性质及应用 46．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分段函数单调性结合一次函数和二次函数的图象和性质列不等式组求解即可. 【解答过程】由题意知，在区间上单调递增，在区间上单调递增，且， 所以，解得， 故选：C. 47．（24-25高一上·四川广元·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用分段函数的单调性列式求解即得. 【解答过程】由函数在R上单调递增， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C. 48．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对成立，可知函数在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，即可求解. 【解答过程】∵对任意的实数，都有成立，不妨设， ∴，，∴函数在上单调递减. 当时，单调递减，∴，解得； 当时，单调递减，∴，即； 又函数在上单调递减，∴，解得， 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 49．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】由单调递增得出所满足的不等式组，求解即可. 【解答过程】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数， 且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值. 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 50．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数 (1)求的值； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据自变量的范围，直接代入即可求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）分类讨论即可求解. 【解答过程】（1） 当时，，则， 当时，，则， （2）任取，故， 由于,所以， 因此，故， 因此函数在区间上是增函数， （3）当时，由时，，解得或， 当时，由时，，解得， 综上可得不等式的解集为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $