4.4数学归纳法（2课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，通过南宁三中高二学生段考问题（完全归纳法）和数列猜想问题（不完全归纳法）导入，结合多米诺骨牌视频（几何画板演示）类比，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接不完全归纳法到数学归纳法原理。 其亮点是以多米诺骨牌视频直观引入，类比迁移培养逻辑推理，通过“猜想+归纳+证明”、恒等式证明等四类题型系统训练，总结清晰。融入直观想象、数学抽象、逻辑推理核心素养，助力学生掌握原理与题型，为教师提供完整教学方案。

null4.4数学归纳法（2课时）P44-P51 陶新军 1（1） 学习目标 核心素养 1.了解完全归纳法与不完全归纳法 直观想象 2.探究数学归纳法的原理。 数学抽象 3.应用探究（1）猜想+归纳+证明。 （2）证明恒等式。 （3）证明不等式。 （4）整除性问题 逻辑推理 1分钟（读） 3（4） 问题2 已知数列满足, 计算猜想其通项公式，并证明你的猜想。 一.新课引入：了解完全归纳法与不完全归纳法。 问题1 南宁三中五象校区高二有学生1300人，如何证明他们都参加了10月27号的段考 ? 5（9） 二.概念形成：探究数学归纳法的原理。 思考1：看下列视频(几何画板演示)，能使所有的牌倒下的条件是什么？ 思考2：你认为条件（2）的作用下，如何用数学语言描述它？ (1)第一块牌倒下; (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 4（13） 二.概念形成：探究数学归纳法的原理。 思考3：你认为证明前面的猜想，与上述多米诺骨牌游戏有 相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 问题2 已知数列满足, 计算猜想其通项公式，并证明你的猜想。 类比 第1张骨牌倒下 假设第k张骨牌倒下保证第k+1张倒下 骨牌倒下 4（17） 二.概念形成：探究数学归纳法的原理。 思考4：类比多米诺骨牌原理，你能得出猜想的证明步骤吗？ 思考5：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 骨牌原理 猜想的证明步驟 ①第一块骨牌倒下 ②“如果前一块倒下，則后一块也跟着倒下“ 根据①②，所有的骨牌都能倒下 3+4（24） 三.概念深化：探究数学归纳法的原理。 2+1（27） 三.概念深化：探究数学归纳法的原理。 3+1（31） 三.概念深化：探究数学归纳法的原理。 5（36） 四.应用探究1.归纳+猜想+证明 例2 用数学归纳法证明:如果是一个公差为的等差数列，那么 对任何都成立. 解：（1） （2）假设 当 所以 综上（1）（2）得成立 5（41） 四.应用探究1.归纳+猜想+证明 例3 已知数列满足，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 解： 下面用数学归纳法证明： （1） （2）假设 当 综上（1）（2）得成立 5+3（49） 四.应用探究1.归纳+猜想+证明 四.应用探究1.归纳+猜想+证明 5+3（49） 5（54） 四.应用探究2.证明恒等式 例4 用数学归纳法证明: 证明：（1） （2）假设 当 =+=[(2+1)+6(+1)] 所以，等式成立。 综上（1）（2）得成立 5+3（59） 四.应用探究2.证明恒等式 10=1+9（69） 四.应用探究3.证明不等式 例5 设为实数，且为大于1的正整数，记数列 ， 的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 证明：公比为, 猜想： （1） （2）假设 当 所以，等式成立。 综上（1）（2）得成立 8+2（79） 四.应用探究3.证明不等式 10（89） 四.应用探究3.证明不等式P52 练习6.已知数列{{的通项公式分别为，其中，试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论. 解：当当 当；当 当；当 猜想：当 下面用数学归纳法证明 （1）当 （2）假设 当+1时， 所以+1时，结论成立 综上（1）（2）当 10（99） 四.应用探究4.整除性问题 课本P52 例6（课本练习8）.证明:+5 () 能够被6整除. 证明：（1）当 （2）假设 当+1时， 所以+1时，结论成立 综上（1）（2）+5 () 能够被6整除 五.总结归纳 知识点： 题型： 方法： 作业：学科网搜 4.4数学归纳法（2课时） 1（40） （1）猜想+归纳+证明。 （2）证明恒等式。 （3）证明不等式。 （4）整除性问题 （1）数学归纳法 （1）数学归纳法 板书设计 解：当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2，故C正确． 练习1 用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是 (　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解：当n＝k时，左边共有(2k＋1)个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有(2k＋3)个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3).所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3).选C 练习2 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是 (　　) A．(2k＋1)＋(2k＋2) B．(2k－1)＋(2k＋1) C．(2k＋2)＋(2k＋3) D．(2k＋2)＋(2k＋4) 解：(1)由题意知Sn＝1－nan， 当n＝1时，S1＝a1＝1－a1，解得a1＝ 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝1－2a2，解得a2＝. 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝1－3a3，解得a3＝. 练习3已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和且Sn是2与－2nan的等差中项． (1)求a1，a2，a3； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明． 即当n＝k＋1时，等式成立． 结合①②得an＝对任意n∈N*均成立． (2)猜想：an＝(n∈N*). 证明：①当n＝1时，由(1)知等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即ak＝，则当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝1－(k＋1)ak＋1－(1－kak)， 所以ak＋1＝＝， 即当n＝k＋1时，等式成立． 结合①②得an＝对任意n∈N*均成立． 下面利用数学归纳法进行证明： ①当n＝1时，显然成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·2k＝2k·1×3×5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1) ＝(k＋1)·(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1×3×5·…·(2k－1)·(2k＋1)·2 ＝2k+1·1×3×5·…·(2k＋1)＝2k+1·1×3×5·…·[2(k＋1)－1]， 所以当n＝k＋1时等式成立． 根据①②可知对任意正整数等式均成立． 练习4用数学归纳法进行证明： (n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·2n＝2n·1×3×5·…·(2n－1). 证明：（1）当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立． （2）假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＞. 当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＞＋＝. 因为＞＝＝，所以当n＝k＋1时，不等式成立． 综上（1）（2），可知对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立． 练习5 已知n∈N*，n＞2，求证：1＋＋＋…＋＞. $