15.2.1画轴对称图形 课件-2025-2026学年 人教版数学八年级上册

幻灯片 1：封面 标题：15.2.1 画轴对称图形 副标题：人教版初中数学（八年级上册） 制作人：[你的名字] 日期：[具体日期] 衔接提示：上节课我们学习了作轴对称图形的对称轴，知道对称轴是对应点所连线段的垂直平分线。今天将基于这一性质，学习如何根据已知图形和对称轴，画出它的轴对称图形，进一步深化对轴对称的理解与应用。 幻灯片 2：课程导入 旧知回顾： 轴对称性质：成轴对称的两个图形，对应点所连线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等； 对称轴作法：通过找对应点作垂直平分线确定对称轴。 问题引导： 反过来，若已知一个图形和一条对称轴，如何画出这个图形关于这条对称轴的对称图形？ 比如：在纸上画一个三角形，再画一条直线作为对称轴，怎样才能准确画出三角形关于这条直线的对称图形？今天我们就来解决这个问题，掌握画轴对称图形的方法。 情境展示：呈现已知图形（如△ABC）和对称轴 l 的示意图，提问：如何画出△ABC 关于 l 的对称△A'B'C'？引导学生思考 “对应点” 的确定方法。 幻灯片 3：画轴对称图形的核心原理 原理推导： 要画出一个图形关于某条对称轴的对称图形，关键是确定原图形上每个关键点的对称点； 由轴对称性质可知：关键点与其对称点所连线段被对称轴垂直平分，因此可通过 “作垂直、找等距” 的方法确定每个对称点； 连接所有对称点，即可得到原图形的轴对称图形。 关键概念： 关键点：能确定图形形状和位置的点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点、线段的端点、圆的圆心等）； 非关键点：无需单独确定，可通过连接关键点的对称点自然形成（如三角形的边、圆的圆弧）。 图形示例：以△ABC 和对称轴 l 为例，关键点为 A、B、C，确定 A'（A 的对称点）、B'（B 的对称点）、C'（C 的对称点）后，连接 A'B'、B'C'、C'A'，即得△A'B'C'（△ABC 关于 l 的对称图形）。 幻灯片 4：方法一 - 平面内画轴对称图形（尺规作图法） 已知条件：给定图形（如△ABC）和对称轴 l。 求作：△ABC 关于直线 l 的对称图形△A'B'C'。 详细步骤（结合动画演示）： 确定关键点：找出原图形的所有关键点，如△ABC 的顶点 A、B、C； 作关键点 A 的对称点 A'： 过点 A 作 AD⊥l，垂足为 D（用直角三角板或尺规作垂线：以 A 为圆心，适当长为半径画弧交 l 于 M、N，再分别以 M、N 为圆心，大于 1/2 MN 长为半径画弧，交于 P，连接 AP 交 l 于 D，即 AD⊥l）； 延长 AD 至 A'，使 DA' = AD（用圆规截取：以 D 为圆心，AD 长为半径画弧，交延长线于 A'），则 A' 为 A 的对称点； 同理作关键点 B、C 的对称点 B'、C'：重复步骤 2，分别作出 B' 和 C'； 连接对称点：用直尺连接 A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C' 即为△ABC 关于直线 l 的对称图形。 验证方法： 测量对应线段：A'B' 与 AB、B'C' 与 BC、C'A' 与 CA，观察是否相等； 测量对应角：∠A' 与∠A、∠B' 与∠B、∠C' 与∠C，观察是否相等； 折叠验证：将图形沿 l 对折，观察△ABC 与△A'B'C' 是否完全重合。 幻灯片 5：方法二 - 平面直角坐标系内画轴对称图形（坐标法） 已知条件：在平面直角坐标系中，给定图形（如点 A (2,3)、△ABC）和对称轴（如 x 轴、y 轴、直线 x=a、直线 y=b）。 核心规律：根据对称轴的不同，关键点的坐标变换有固定规律（以点 P (x,y) 为例）： 对称轴 对称点 P' 的坐标 变换规律总结 x 轴 (x, -y) 横坐标不变，纵坐标取相反数 y 轴 (-x, y) 纵坐标不变，横坐标取相反数 直线 x = a (2a - x, y) 纵坐标不变，横坐标关于 a 对称 直线 y = b (x, 2b - y) 横坐标不变，纵坐标关于 b 对称 详细步骤： 确定关键点坐标：写出原图形关键点的坐标，如△ABC 的顶点 A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂)、C (x₃,y₃)； 计算对称点坐标：根据对称轴类型，利用坐标变换规律计算每个关键点的对称点坐标 A'(x₁',y₁')、B'(x₂',y₂')、C'(x₃',y₃')； 描点连线：在坐标系中描出 A'、B'、C'，用直尺连接各点，得到原图形的轴对称图形。 幻灯片 6：实例讲解（两种方法应用） 实例 1：平面内用尺规画轴对称图形 已知△ABC，对称轴 l 为过 BC 中点且垂直于 BC 的直线，画△ABC 关于 l 的对称图形： 关键点：A、B、C（B、C 在对称轴 l 上，其对称点为自身，即 B'=B，C'=C）； 仅需作 A 的对称点 A'：过 A 作 l 的垂线，延长至 A' 使 DA'=AD； 连接 A'B、A'C，△A'BC 即为所求对称图形（因 B、C 在对称轴上，对称图形与原图形关于 l 对称）。 实例 2：坐标系内用坐标法画轴对称图形 已知△ABC 的顶点坐标为 A (1,2)、B (3,1)、C (2,4)，画△ABC 关于 y 轴的对称图形△A'B'C'： 计算对称点坐标： A (1,2) 关于 y 轴对称：A'(-1,2)（横坐标取反，纵坐标不变）； B (3,1) 关于 y 轴对称：B'(-3,1)； C (2,4) 关于 y 轴对称：C'(-2,4)； 描点：在坐标系中描出 A'(-1,2)、B'(-3,1)、C'(-2,4)； 连线：连接 A'B'、B'C'、C'A'，得到△A'B'C'。 幻灯片 7：特殊图形的轴对称图形画法 实例 1：画线段的轴对称图形 关键点：线段 AB 的两个端点 A、B； 作 A、B 关于对称轴 l 的对称点 A'、B'； 连接 A'B'，线段 A'B' 即为线段 AB 关于 l 的对称图形（若 l 垂直平分 AB，则 A'B' 与 AB 重合）。 实例 2：画圆的轴对称图形 关键点：圆心 O（圆的位置由圆心决定，大小由半径决定）； 作圆心 O 关于对称轴 l 的对称点 O'； 以 O' 为圆心，保持与原圆相同的半径画圆，该圆即为原圆关于 l 的对称图形（半径不变，圆心对称）。 实例 3：画不规则图形的轴对称图形 关键点：不规则图形的轮廓顶点（如五角星的 5 个尖角顶点、花朵图案的花瓣顶点）； 依次作出每个顶点的对称点； 按原图形的顺序连接对称点，即可得到不规则图形的轴对称图形（注意保持顶点顺序一致，避免图形变形）。 幻灯片 8：课堂练习（分层巩固） 基础题： 如图，已知线段 AB 和对称轴 l，用尺规画出 AB 关于 l 的对称线段 A'B'； 在平面直角坐标系中，已知点 P (-2,5)，分别画出 P 关于 x 轴、y 轴的对称点 P₁、P₂，并写出坐标。 提升题： 3. 如图，已知四边形 ABCD 和对称轴 l，用尺规画出四边形 ABCD 关于 l 的对称图形 A'B'C'D'（提示：先确定 A、B、C、D 四个关键点的对称点）； 4. 已知△ABC 的顶点 A (4,3)、B (1,1)、C (2,5)，画△ABC 关于直线 x=1 的对称图形，并写出对称点坐标（提示：用坐标变换规律 x'=2×1 - x）。 解题提示： 第 1 题：作 A、B 关于 l 的对称点 A'、B'，连接 A'B'； 第 2 题：P₁(-2,-5)（x 轴对称），P₂(2,5)（y 轴对称）； 第 3 题：依次作 A、B、C、D 的对称点，按顺序连接； 第 4 题：A'(-2,3)、B'(1,1)（在 x=1 上，对称点为自身）、C'(0,5)，描点连线。 幻灯片 9：易错点与注意事项 关键点遗漏：忽略不规则图形的关键顶点（如多边形的某个顶点），导致对称图形缺失部分轮廓； 坐标变换错误：在坐标系中画对称图形时，混淆对称轴对应的坐标变换规律（如将 x 轴对称错记为 “横坐标取反”）； 对称点距离不等：用尺规作对称点时，未确保 DA'=AD，导致对称点与原关键点到对称轴的距离不相等，图形不对称； 顶点顺序错乱：连接对称点时，未按原图形的顶点顺序连接（如原图形顺序为 A→B→C，对称图形错连为 A'→C'→B'），导致图形变形。 幻灯片 10：课堂小结 核心知识梳理： 类别 具体内容 画轴对称图形原理 确定原图形关键点，作每个关键点的对称点（利用 “垂直平分” 性质），连接对称点 主要方法 1. 尺规法（平面内）：作垂线→找等距→连对称点（适用于无坐标系场景）；2. 坐标法（坐标系内）：用坐标变换规律算对称点→描点连线（适用于有坐标系场景） 关键步骤 找关键点→作对称点→连对称点（三步核心，缺一不可） 特殊图形应用 线段（找端点）、圆（找圆心）、多边形（找顶点），按关键点类型针对性作图 思想方法：体会 “化繁为简”（将图形转化为关键点处理）、“数形结合”（坐标系内用坐标规律作图）的思想，学会根据场景选择合适的作图方法。 幻灯片 11：课后作业 完成课本对应练习题（如习题 15.2 第 1、2 题）； 实践任务： 用尺规画出自己姓名中的一个轴对称汉字（如 “中”“土”）关于某条直线的对称汉字； 在坐标系中，画出一个简单图案（如小房子，由矩形和三角形组成）关于 x 轴的对称图案，并写出关键点坐标； 拓展思考：如图，已知△ABC 关于直线 l 的对称图形是△A'B'C'，△A'B'C' 关于直线 m 的对称图形是△A''B''C''，试判断△ABC 与△A''B''C'' 的关系（提示：结合两次轴对称的性质分析）。 【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 15.2.1画轴对称图形 第15章 轴对称 a i T u j m i a N g 情境导入 请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？ l 情景导入 如图，在一张半透明的纸的左边，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就可以得到与左脚印对称的右脚印，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分. 探究新知 轴对称变换的应用 知识点 1 （1）认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？ （2）对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP ′是什么关系？ 成轴对称 直线l垂直平分线段PP′ 探究新知 做一做: 例1 将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，得到的图案是（ ） B 动手剪一剪 探究新知 利用轴对称识别图形变化 素养考点 1 A. B. C. D. 下面是四位同学作的△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ ） B 巩固练习 A. D. C. B. 例2 如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝50°，则∠CFD的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° C 探究新知 利用轴对称求角或线段的值 素养考点 2 方法点拨：折叠是一种轴对称变换，折叠前后的图形形状和大小不变，对应边和对应角相等． 如图，小红把一张含30°角的直角三角形纸片ABC沿较短边的垂直平分线翻折，则∠BOC＝ ． 60° 巩固练习 探究新知 作轴对称图形 知识点 2 几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 如何画一个点的轴对称图形？ 画出点A关于直线l的对称点A′. ﹒ l A ﹒ A′ O 作法： （1）过点A作l的垂线，垂足为点O. （2）在垂线上截取OA′＝OA. 点A′就是点A关于直线l的对称点. 探究新知 问题1： 【思考】为什么点A′是点A的对称点? 如何画一条线段的对称图形？ 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段. 探究新知 问题2： A B (图1) (图2) (图3) A B l l A B l A ′ A ′ A ′ B ′ (B ′) B ′ 例 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形. A B C 分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形. 探究新知 作法：（1）过点A画直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线l的对称点. （3）连接A′B′，B′C′，C′A′，则△ A′B′C′即为所求. （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′ . A B C A′ B′ C′ O 探究新知 例 在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF. A B C A B C A B C A B C (F) (D) E (E) F D (F) D E (D) (E) F 利用轴对称作图 素养考点 探究新知 作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来． 探究新知 方法点拨 如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? A B A’ 作法： 1.过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA=O A′ ，点A′就是点A关于直线l的对称点； 2.类似地，作出点B关于直线l的对称点B′； 3.连接A′B′. ∴ 线段A ′ B ′即为所求. A B 巩固练习 O 链接中考 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位. (1)过直线m作四边形ABCD的 对称图形; (2)求四边形ABCD的面积. 解：（1）如图所示. （2） A′ B′ D′ C′ 1. 下面是四位同学作出的关于直线 对称的图形， 其中正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 18 2. 一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪 去一个小正方形，则打开后的图形是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 19 3. ［2025威海期中］如图，在 的正方形网格中，已有 三个小正方形被涂灰，再将其余的小正方形涂灰一个，使四 个被涂灰部分构成的图案为轴对称图形.能满足条件的涂法有 ( ) C A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 返回 考试考法 20 4. 教材P72例1 如图，画出四边形关于直线 的对称图形. 【解】如图，四边形 即为所求图形. 返回 考试考法 21 5. 教材P73练习 请在网格中完成下列问题： 考试考法 22 （1）在图①中画出关于直线成轴对称的 ； 如图①， 即为所求图形. 考试考法 23 （2）在图②中画出与 的对称轴. 如图②，直线 即为所求的对 称轴. 考试考法 24 画轴对称图形的三字诀. 找:找特殊点； 作:作各特殊点关于对称轴的对称点； 连:顺次连接各对称点,形成图形. 返回 考试考法 25 （第6题） 6. 如图，在所给的四边形 中进行 操作：①作点关于的对称点 ；② 作射线交于点；③连接 .根 据上述操作所作图形进行判断，下列 选项中正确的是( ) C A. B. C. D. 以上三种情况都有可能 考试考法 26 【点拨】如图. 点，关于对称， .又 ， .故选C. 返回 考试考法 27 （第7题） 7. 如图，在 的正方形 网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶 点的三角形称为格点三角形，图中的 为格点三角形，在图中与 成轴对称的 格点三角形最多能画出( ) A A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 考试考法 28 【点拨】如图，与成轴对称的格点三角形 最多 能画出6个.故选A. 返回 考试考法 29 8.如图，的顶点在的边 上，，在内部，分别以， 为对称轴作 的轴对称图形. 【解】如图，和 分别为 以， 为对称轴所求作的轴对称图形. 返回 考试考法 30 画轴对称图形 作图原理 作图方法 对称轴是对称点连接的线段的垂直平分线 (1)找特殊点 (2)作垂线 (3)截取等长 (4)依次连线 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $