15.1.2.2作轴对称图形的对称轴 课件-2025-2026学年 人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系中的轴对称，核心知识点包括点关于x轴y轴对称的坐标变换规则、对称图形作图及坐标应用。课堂导入通过回顾角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，结合“想一想”观察图形关系与坐标问题，搭建新旧知识桥梁，形成学习支架。 其特色在于以问题链驱动学习，通过观察圆脸坐标、射击图标等实例培养数学眼光，归纳坐标规则和逻辑推理求字母值发展数学思维，用坐标语言解决仓库位置设计等实际问题体现数学语言。采用“探究-归纳-应用”模式，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

幻灯片 1:封面 标题:15.1.2.2 作轴对称图形的对称轴 副标题:人教版初中数学(八年级上册) 制作人:[你的名字] 日期:[具体日期] 衔接提示:上节课我们学习了线段垂直平分线的性质与判定,知道 “轴对称图形的对称轴是对应点所连线段的垂直平分线”,今天将基于这一关联,学习如何用尺规准确作出轴对称图形的对称轴。 幻灯片 2:课程导入 旧知回顾: 轴对称图形定义:沿一条直线折叠后,直线两旁部分能完全重合的图形,这条直线是对称轴; 关键关联:轴对称图形中,任意一组对应点所连线段的垂直平分线,就是该图形的对称轴(结合等腰三角形示例:两腰顶点是对应点,底边的垂直平分线是对称轴)。 问题引导: 给定一个轴对称图形(如五角星、正方形),如何用尺规作出它的对称轴? 若图形仅给出部分轮廓(如破损的对称标志),又该如何确定对称轴?今天我们就来解决这两个问题,掌握作轴对称图形对称轴的方法。 情境展示:呈现 3 个轴对称图形:①等腰三角形;②正六边形;③轴对称剪纸图案,引导学生观察 “对应点” 与 “对称轴” 的位置关系。 幻灯片 3:作轴对称图形对称轴的核心原理 原理推导: 由轴对称性质可知:对称轴垂直平分任意一组对应点所连线段; 反之,若找到轴对称图形的一组对应点,作出这两点所连线段的垂直平分线,该垂直平分线就是图形的对称轴; 若图形有多条对称轴(如正方形有 4 条),可通过找不同组对应点,作出多条垂直平分线。 图形示例:以等腰三角形 ABC 为例,顶点 A 与底边中点 D 不是对应点,两腰上的点 B 与点 C 是对应点,作出 BC 的垂直平分线 l,l 即为等腰三角形的对称轴(结合示意图标注对应点、线段及垂直平分线)。 幻灯片 4:方法一 - 尺规作轴对称图形的对称轴(找对应点作垂直平分线) 已知条件:给定轴对称图形(如五角星,示意图中标注一组对应点 A、A')。 求作:该图形的对称轴 l。 详细步骤(结合动画演示): 找对应点:在轴对称图形上任意选取一组能完全重合的对应点,记为 A、A'(如五角星的两个尖角顶点); 连线段:用直尺连接 A、A',得到线段 AA'; 作 AA' 的垂直平分线(即对称轴 l): 分别以 A、A' 为圆心,以大于 1/2 AA' 的长为半径作弧,两弧分别交于点 M、N; 用直尺连接 M、N,直线 MN 即为线段 AA' 的垂直平分线,也就是该轴对称图形的对称轴 l。 验证方法:将图形沿直线 MN 折叠,观察 A 与 A' 是否重合,直线 MN 两侧的图形是否完全重合,验证对称轴的准确性。 幻灯片 5:方法二 - 折叠法作对称轴(适用于纸质图形) 适用场景:当轴对称图形为纸质实物(如剪纸、画在纸上的等腰三角形)时,可通过折叠直观找到对称轴。 操作步骤: 将纸质图形沿某条直线对折,使直线两侧的部分能够完全重合; 用直尺沿对折的折痕画出直线; 这条折痕所在的直线即为该轴对称图形的对称轴。 优点与局限: 优点:操作简便,直观快速,适合初步确定对称轴位置; 局限:精度较低(依赖手工折叠),不适用于非纸质图形或需要精确作图的场景(如工程图纸),此时需用尺规作图法。 幻灯片 6:特殊轴对称图形的对称轴作法(实例讲解) 实例 1:作等腰三角形的对称轴 选取等腰三角形的两腰顶点 B、C 作为对应点; 连接 BC,作 BC 的垂直平分线: 以 B、C 为圆心,大于 1/2 BC 的长为半径作弧,交于 M、N; 连接 MN,MN 即为等腰三角形的对称轴(也是底边 BC 的高、中线和顶角平分线,“三线合一”)。 实例 2:作正方形的一条对称轴 选取正方形对角的两个顶点 A、C 作为对应点; 连接 AC,作 AC 的垂直平分线: 以 A、C 为圆心,大于 1/2 AC 的长为半径作弧,交于 P、Q; 连接 PQ,PQ 即为正方形的一条对称轴(正方形有 4 条对称轴,可通过选取不同对应点作出其他对称轴)。 实例 3:作破损轴对称图形的对称轴 已知条件:破损的圆形标牌(仅保留部分圆弧,可判断为轴对称图形); 操作步骤: 在剩余圆弧上选取两组对应点 A、A' 和 B、B'; 分别作 AA'、BB' 的垂直平分线 l₁、l₂; 两条垂直平分线的交点即为圆形的圆心 O,过圆心 O 作任意一条直线(如垂直于 AA' 的直线),即为破损圆形的对称轴(圆形有无数条对称轴,均过圆心)。 幻灯片 7:尺规作图的规范要求 核心规范: 保留作图痕迹:用圆规画弧时,需清晰保留两弧的交点(如 M、N),不可仅画最终直线; 工具使用正确:用无刻度直尺画直线,圆规半径需满足 “大于 1/2 线段长”(确保两弧相交); 标注清晰:在作图结果中,标注对应点(A、A')、线段(AA')、对称轴(l)及弧的交点(M、N),避免混淆。 错误示例与纠正: 错误 1:圆规半径小于 1/2 AA',导致两弧无交点,无法确定 M、N; 纠正:调整圆规半径,确保大于 1/2 AA',重新画弧。 错误 2:未保留弧的交点,仅画直线 MN; 纠正:补画弧的交点,明确作图过程。 幻灯片 8:课堂练习(分层巩固) 基础题: 如图,已知轴对称图形(正三角形),请用尺规作出它的一条对称轴(提示:选取正三角形的两个顶点作为对应点); 用折叠法找出课本封面(长方形)的所有对称轴,并用直尺画出。 提升题: 3. 如图,已知轴对称图形的一部分(左侧为完整图形,右侧缺失,标注对应点 D、D'),请用尺规作出该图形的对称轴,并补全右侧缺失部分(提示:先作对称轴,再根据对称轴补全对应点)。 解题提示: 第 1 题:选取正三角形任意两个顶点,作对应线段的垂直平分线,即为对称轴; 第 2 题:长方形有 2 条对称轴,分别为对边中点连线的垂直平分线; 第 3 题:先作 D、D' 的垂直平分线(对称轴),再在对称轴右侧找到左侧各点的对应点,连接对应点补全图形。 幻灯片 9:易错点与注意事项 对应点选取错误:选取的两点不是轴对称图形的对应点(如在等腰三角形中选取顶点 A 和底边中点 D),导致作出的垂直平分线不是对称轴; 圆规半径不当:作垂直平分线时,半径等于或小于 1/2 线段长,导致两弧无交点,无法确定对称轴; 忽略多对称轴情况:认为轴对称图形只有 1 条对称轴(如正方形有 4 条、正六边形有 6 条),需根据图形特征作出所有对称轴; 折叠法精度不足:依赖折叠法作图时,因折叠不整齐导致对称轴偏离正确位置,需结合尺规作图验证。 幻灯片 10:课堂小结 核心知识梳理: 类别 具体内容 作对称轴的原理 轴对称图形的对称轴是任意一组对应点所连线段的垂直平分线 主要方法 1. 尺规法:找对应点 连线段 作垂直平分线(精确,适用于所有场景);2. 折叠法:对折找折痕(简便,适用于纸质图形) 规范要求 尺规作图需保留痕迹、工具正确、标注清晰;折叠法需确保对折后完全重合 特殊图形应用 等腰三角形(1 条)、正方形(4 条)、圆形(无数条),需根据图形特征选对应点 思想方法:体会 “从性质推导方法”“理论作图与实际操作结合” 的思想,学会根据图形类型选择合适的对称轴作法。 幻灯片 11:课后作业 完成课本对应练习题(如习题 15.1 第 5、6 题); 实践任务: 用尺规作出正五边形的一条对称轴; 用折叠法和尺规法分别作出剪纸作品(如蝴蝶)的对称轴,对比两种方法的精度差异; 拓展思考:如图,已知两个成轴对称的图形,标注了一组对应点 E、E',请用尺规作出它们的对称轴,并说明作图依据(提示:结合 “两个图形成轴对称的性质”)。 【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师: . 班 级: . 时 间: . 15.1.2.2作轴对称图形的对称轴 第15章 轴对称 a i T u j m i a N g 回顾导入 如何通过尺规作图作一个角的平分线? A B O 如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线? 思考 情景导入 (1)观察上图中两个圆脸有什么关系? 想一想 导入新知 x y 情景导入 想一想 (2)已知右边图脸右眼的坐标为(4,3),左眼的坐标为(2,3),嘴角两个端点,右端点的坐标为(4,1),左端点的坐标为(2,1)。你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼,右眼及嘴角两端点的坐标吗? 导入新知 x y 情景导入 已知点A和一条直线MN,你能画出这个点关于已知直线的对称点吗? A A′ M N ∴A′就是点A关于直线MN的对称点. O (2)延长AO至A′,使A′O=AO. (1)过点A作AO⊥MN,垂足为点O. 探究新知 平面直角坐标系中的轴对称 知识点 问题1: 探究新知 x y O 如图,在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗? A (2,3) A′(2,–3) 你能说出点A与点A'坐标的关系吗? 探究新知 问题2: 探究新知 x y O 在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点. C (3,–4) C '(3,4) B(–4,2) B '(–4,–2) (x , y) 关于 x 轴 对称 ( , ) x –y 探究新知 做一做: 探究新知 关于x轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标相等,纵坐标互为相反数. (简称:横同纵反) 1.点P(–5, 6)与点Q关于x轴对称,则点Q的坐标为_. 2.点M(a, –5)与点N(–2, b)关于x轴对称,则a=_, b =_. (– 5 , –6 ) –2 5 探究新知 归纳总结 练一练 探究新知 如图,在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗? x y O A (2,3) A′(–2,3) 你能说出点A与点A'坐标的关系吗? 探究新知 问题3: 探究新知 x y O 在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点. C (3,–4) C '(– 3,– 4) B(–4,2) B '(4,2) (x , y) 关于 y轴 对称 ( , ) –x y 探究新知 做一做: 探究新知 关于y轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标互为相反数,纵坐标相等. (简称:横反纵同) 1.点P(–5, 6)与点Q关于y轴对称,则点Q的坐标为_. 2.点M(a, –5)与点N(–2, b)关于y轴对称,则a=_, b =_. (5 , 6 ) 2 –5 探究新知 归纳总结 练一练 探究新知 例1 如图,四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(–5,1), B(–2,1),C(–2,5),D(–5,4), 画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形. x y A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ A′′ B′′ C′′ D′′ O 探究新知 在平面直角坐标系内作轴对称图形 素养考点 1 探究新知 方法点拨 对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形. (一找二描三连) 探究新知 探究新知 平面直角坐标系中, ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4),B(2,4),C(3,–1). (1)试在平面直角坐标系中,标出A、B、C三点; (2)若 ABC与 A'B'C'关于x轴对称,画出 A'B'C',并写出A'、B'、C'的坐标. 巩固练习 探究新知 解:如图所示: 巩固练习 x y O A (0,4) B (2,4) C (3,–1) A' (0,–4) B' (2,–4) C' (3,1) 探究新知 例2 已知点A(2a–b,5+a),B(2b–1,–a+b). (1)若点A、B关于x轴对称,求a、b的值; (2)若A、B关于y轴对称,求(4a+b)2025的值. 解:(1)∵点A、B关于x轴对称, ∴2a–b=2b–1,5+a–a+b=0, 解得a=–8,b=–5. (2)∵A、B关于y轴对称, ∴2a–b+2b–1=0,5+a=–a+b, 解得a=–1,b=3, ∴(4a+b)2025= – 1. 解决此类题可根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解. 利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的值 素养考点 2 探究新知 探究新知 已知点A(2a+3b,–2)和点B(8,3a+2b)关于x轴对称,则a+b= . 若M(a,– )与N(4,b)关于y轴对称,则a,b的值分别为 ,MN= . 2 –4, 8 巩固练习 例3 已知点P(a+1,2a–1)关于x轴的对称点在第一象限,求a的取值范围. 解:依题意得点P在第四象限, 解得 . 即a的取值范围是 探究新知 利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的取值范围 素养考点 3 方法总结:解决此类题,一般先写出对称点的坐标或判断已知点所在的象限,再由各象限内点的坐标的符号,列不等式(组)求解. 如图,在平面直角坐标系中, PQR是 ABC经过某种变换后得到图形,观察点A与点P,点B与点Q,点C与点R的坐标之间的关系,在这种变换下,如果 ABC内任意一点M(a,b),那么它的对应点 N的坐标为 . 已知点M(1–a,2a+2),若点M关于x轴的对称点在第三象限,则a的取值范围是 . a>1 (–a,b) 巩固练习 (第1题) 1. 如图,在等腰三角形中, , 分别以点,为圆心,大于 的长为半径 画弧,两弧分别交于点和点,作直线 ,交 于点,连接,则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 20 (第2题) 2. 在巴黎奥运会10米气步 枪混合团体比赛中,中国选手夺得本届奥运会 首枚金牌,如图是巴黎奥运会射击项目图标, 这个图案的对称轴条数为( ) B A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 返回 考试考法 21 3.母题教材P71习题 如图,某地有两所大学和两条相交 叉的公路(点,表示大学,, 表示公路),现计划 修建一座物资仓库,希望物资仓库到两所大学的距离相等, 到两条公路的距离也相等.你能确定物资仓库 应该建在什么 位置吗?在所给的图形中画出你的设计方案. 考试考法 22 【解】如图所示,物资仓库应该建在或 点的位置. (第3题) 返回 考试考法 用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标特征 在坐标系中作已知图形的对称图形 关于x轴对称,横同纵反;关于y轴对称,横反纵同 关键要明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律,然后正确画出对称点的位置 课堂小结 必做作业:从教材习题中选取; 选做作业:完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看! $