15.1.1 轴对称及其性质 课件-2025-2026学年 人教版数学八年级上册

幻灯片 1：封面 标题：15.1.1 轴对称及其性质 副标题：人教版初中数学（八年级上册） 制作人：[你的名字] 日期：[具体日期] 衔接提示：上节课我们学习了角平分线的判定，探索了角的对称特性，今天将进一步研究更广泛的对称现象 —— 轴对称，揭示其定义与独特性质。 幻灯片 2：课程导入 生活情境展示：呈现 5 组生活中具有对称特征的图片：①蝴蝶的翅膀；②天安门城楼；③等腰三角形；④剪纸作品（对称图案）；⑤汉字 “中”“日”。 提问引导： 这些物体或图形有什么共同特点？（引导学生回答：沿某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合） 这种 “对折后完全重合” 的现象叫做什么？这条对折的直线又有什么特殊名称？今天我们就来深入学习 “轴对称” 及其性质。 幻灯片 3：轴对称图形的定义 定义解析： 文字定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 图形示例：以等腰三角形为例，沿底边的高所在直线折叠，直线两侧的三角形部分完全重合，因此等腰三角形是轴对称图形，底边的高所在直线是它的对称轴（结合示意图，用动画演示折叠过程）。 关键特征： 针对 “一个图形”； 存在 “一条直线”（对称轴）； 折叠后 “两侧部分完全重合”。 动手操作：让学生在练习本上画出等腰三角形、正方形、圆，分别找出它们的对称轴，同桌互相检查是否正确（如正方形有 4 条对称轴，圆有无数条对称轴）。 幻灯片 4：两个图形成轴对称的定义 定义解析： 文字定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（也叫对称点）。 图形示例：以两个全等的蝴蝶图案为例，沿中间的竖直线折叠，左侧蝴蝶能与右侧蝴蝶完全重合，因此这两个蝴蝶图案关于这条竖直线对称，竖直线是对称轴，蝴蝶的翅膀尖、触角尖等分别是对应点（结合示意图标注对称轴和对应点）。 关键特征： 针对 “两个图形”； 存在 “一条直线”（对称轴）； 折叠后 “两个图形完全重合”。 幻灯片 5：轴对称图形与两个图形成轴对称的对比 表格对比： 类别 研究对象 重合方式 对称轴数量 联系 轴对称图形 一个图形 图形自身沿对称轴折叠重合 至少 1 条（如等腰三角形 1 条，正方形 4 条） 若将两个成轴对称的图形看作一个整体，则它是轴对称图形；若将轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两部分关于这条对称轴成轴对称 两个图形成轴对称 两个图形 一个图形沿对称轴折叠后与另一个图形重合 1 条 举例说明： 单个圆形是轴对称图形（无数条对称轴）； 两个大小相同、摆放对称的圆形关于它们中心连线的垂直平分线成轴对称（1 条对称轴），将这两个圆形看作一个整体，则整体是轴对称图形（2 条对称轴）。 幻灯片 6：探究轴对称的性质 实验探究： 实验目的：通过操作，探究轴对称图形（或两个成轴对称的图形）中，对称轴与对应点、对应线段、对应角的关系； 实验器材：轴对称图形图纸（如等腰三角形）、两个成轴对称的图形图纸（如两个全等三角形）、直尺、量角器； 实验步骤： 取轴对称图形（等腰三角形），找出对称轴 l 和一组对应点 A、A'（如两腰的中点），用直尺测量点 A、A' 到对称轴 l 的距离； 找出一组对应线段 AB、A'B'，测量它们的长度； 找出一组对应角∠B、∠B'，测量它们的度数； 更换两个成轴对称的图形，重复上述操作，记录数据。 实验结论： 对称轴是对应点所连线段的垂直平分线（即对应点到对称轴的距离相等，且对称轴垂直于对应点所连线段）； 对应线段相等； 对应角相等。 幻灯片 7：轴对称性质的理论验证（以两个成轴对称的图形为例） 已知：如图，△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，P、P' 分别是对应点，连接 PP' 交 l 于点 O。 求证： l⊥PP'，且 PO=P'O（对称轴垂直平分对应点所连线段）； AB=A'B'，∠A=∠A'（对应线段相等，对应角相等）。 证明过程： ∵△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，∴将△ABC 沿 l 折叠后与△A'B'C' 重合，点 P 与点 P' 重合； ∴线段 PP' 与 l 的交点 O 是 PP' 的中点，即 PO=P'O； 折叠后∠POl 与∠P'Ol 重合，且∠POl + ∠P'Ol=180°，∴∠POl=∠P'Ol=90°，即 l⊥PP'； ∵折叠后△ABC 与△A'B'C' 重合，∴AB 与 A'B' 重合，∠A 与∠A' 重合，∴AB=A'B'，∠A=∠A'。 性质总结：轴对称的核心性质包括 “对称轴垂直平分对应点所连线段”“对应线段相等”“对应角相等”，适用于轴对称图形和两个成轴对称的图形。 幻灯片 8：例题讲解（轴对称性质应用） 例题 1（基础应用）： 如图，等腰△ABC 是轴对称图形，对称轴是底边 BC 的垂直平分线 l，已知 AB=5cm，∠B=60°，求 AC 的长度和∠C 的度数。 解题步骤： 由轴对称图形性质：对应线段相等，∵AB 和 AC 是关于对称轴 l 的对应线段，∴AC=AB； 代入数据：AB=5cm，∴AC=5cm； 由轴对称图形性质：对应角相等，∵∠B 和∠C 是关于对称轴 l 的对应角，∴∠C=∠B； 代入数据：∠B=60°，∴∠C=60°。 答案：AC 的长度为 5cm，∠C 的度数为 60°。 例题 2（综合应用）： 如图，△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，已知 A 点坐标为 (2,3)，A' 是 A 的对应点，对称轴 l 是 y 轴（x=0），求 A' 的坐标。 解题步骤： 由轴对称性质：对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，y 轴（x=0）是 AA' 的垂直平分线； 垂直平分线性质：对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等（y 轴垂直平分 AA'，则 AA' 平行于 x 轴，纵坐标不变，横坐标到 y 轴距离相等且符号相反）； 计算 A' 坐标：A (2,3)，∴A' 的横坐标为 - 2，纵坐标为 3，即 A'(-2,3)。 答案：A' 的坐标为 (-2,3)。 幻灯片 9：课堂练习（分层巩固） 基础题： 指出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴：①长方形；②平行四边形；③正五边形。 如图，△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，已知 BC=4cm，∠A=50°，求 B'C' 的长度和∠A' 的度数。 提升题： 3. 如图，在平面直角坐标系中，点 P (1,-2) 关于直线 x=1 的对称点 P' 的坐标是多少？（提示：结合对称轴垂直平分对应点所连线段的性质分析） 解题提示： 第 1 题：长方形是轴对称图形（2 条对称轴），平行四边形不是，正五边形是（5 条对称轴）； 第 2 题：由轴对称性质得 B'C'=BC=4cm，∠A'=∠A=50°； 第 3 题：直线 x=1 是垂直于 x 轴的直线，P (1,-2) 在直线 x=1 上，对称点与自身重合，即 P'(1,-2)。 幻灯片 10：易错点与注意事项 概念混淆：误将 “两个图形成轴对称” 当作 “轴对称图形”，忽略研究对象的差异（如说 “两个蝴蝶是轴对称图形”，正确表述应为 “两个蝴蝶关于某直线成轴对称”）； 对称轴判断错误：认为轴对称图形的对称轴只有 1 条（如正方形有 4 条对称轴，圆有无数条，需根据图形特征准确判断）； 性质应用遗漏条件：应用 “对称轴垂直平分对应点所连线段” 时，忽略 “垂直” 或 “平分” 任一条件（如仅认为对应点到对称轴距离相等，未意识到对称轴还需垂直于对应点所连线段）。 幻灯片 11：课堂小结 核心知识梳理： 类别 具体内容 轴对称图形 一个图形沿直线折叠，两侧部分重合，有至少 1 条对称轴 两个图形成轴对称 两个图形沿直线折叠后重合，有 1 条对称轴，折叠后重合的点是对应点 轴对称性质 1. 对称轴垂直平分对应点所连线段；2. 对应线段相等；3. 对应角相等 概念联系 两个成轴对称的图形看作整体是轴对称图形；轴对称图形分两部分后成轴对称 思想方法：体会 “从生活实例抽象几何概念”“实验探究与理论验证结合” 的思想，学会用轴对称性质解决图形的线段、角及坐标问题。 幻灯片 12：课后作业 完成课本对应练习题（如习题 15.1 第 1、2 题）； 实践任务：在家中寻找 3 个轴对称物体，画出它们的对称轴，记录在作业本上； 拓展思考：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，求证：△ABD 与△ACD 关于直线 AD 成轴对称（提示：结合等腰三角形性质和两个图形成轴对称的定义）。 【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 15.1.1 轴对称及其性质 第15章 轴对称 a i T u j m i a N g 四合院 徽派建筑 岭南建筑 江南民居 新课导入 情景导入 新课导入 对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，都可以找到对称的例子. 情景导入 如图是3种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的．观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 探究新知 轴对称图形的定义 知识点 1 【思考】你能举出一些轴对称图形的例子吗？ 　　如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称． 探究新知 归纳总结 例 下面这些图形是不是轴对称图形？如果是，指出它的对称轴. 是 是 是 不是 探究新知 素养考点 1 轴对称图形的识别 　下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 是 是 是 不是 是 巩固练习 共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合． 观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？ 探究新知 轴对称的定义 知识点 2 【思考】你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 　　把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． 探究新知 归纳总结 两者的联系： 　把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形． 你能结合具体的图形说明轴对称图形和轴对称的区别和联系吗？ 两者的区别： 　　轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后，这个图形的两部分能够完全重合，两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合． 探究新知 轴对称图形 两个图形成轴对称 区别 ＿个图形 ＿个图形 联系 1.沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够＿＿＿＿． 2.都有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿________________________________________． 3.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线＿＿＿；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是＿＿＿＿ ． 一 两 互相重合 对称轴，轴对称图形可能不止一条对称轴，轴对称只有一条 对称 轴对称图形 探究新知 比较归纳 下列图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点． 是 不是 是 巩固练习 你能说明其中的道理吗？ 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C 的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN 有什么关系？其他对称点呢？ A B C M N P A′ B′ C′ 探究新知 轴对称的性质及垂直平分线的定义 知识点 3 想一想 【思考】上面的问题说明“如果△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，那么，直线MN 垂直于线段AA′，BB′和CC′，并且直线MN 还平分线段AA′，BB′和CC′”．如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”……其他条件不变，上述结论还成立吗？ A B C M N P A′ B′ C′ 探究新知 轴对称的性质： 　　成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. A B C M N P A′ B′ C′ 探究新知 归纳总结 结论： 　　直线l 垂直于线段AA′，BB′，直线l平分线段AA′，BB′. 【思考】下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？ A B l A′ B′ 探究新知 轴对称图形的性质： 轴对称图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. A B l A′ B′ 探究新知 归纳总结 　　经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线． A B C M N P A′ B′ C′ 探究新知 归纳总结 例 如图，线段AB与线段A′B′关于直线l对称，AA′交直线l于点O，连接BO,B′O. （1）图中相等的线段有： ,线段AA′的垂直平分线是 ； （2）△OAB和△OA′B′关于直线l ，△OAB △OA′B′， ∠ABO= ，∠A′OB′= . 探究新知 素养考点 1 轴对称的性质 直线l 对称 ≌ ∠A′B′O ∠AOB OA与OA′,AB与A′B′ OB与OB′ 巩固练习 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A=45°，∠B′=110°，则∠C的度数为（ ） A.15° B.20° C.25° D.35° C 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形 的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 21 2. 如图，和关于直线 对称，下 列说法错误的是( ) D （第2题） A. B. 线段，，被直线 垂直平分 C. D. 线段， 所在直线的交点不一定在直线 上 返回 考试考法 22 （第3题） 3. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴 的条数为( ) D A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4. 一个英语单词平行对着镜子，在镜子里看到 的是“ ”，则这个英语单词的中文意思是______. 数学 返回 考试考法 23 5.如图，欣欣和佳佳下棋，欣欣持圆形棋子，佳佳持方形棋 子.若棋盘正中间的方形棋子的位置用 表示，右上角方形 棋子的位置用 表示，要使棋盘上所有棋子组成轴对称图 形，则欣欣下一枚圆形棋子的位置应在______. 返回 考试考法 24 6.如图是一个轴对称图形，图中直线 是它的对称轴. 考试考法 25 （1）与有什么关系？线段与线段 有什么关系？请说明理由. 【解】，.理由： 此图是轴 对称图形，图中直线是它的对称轴， 点 与 点，点与点，点与点，点与点 是对应点， ， . 考试考法 26 （2）与直线 有什么关系？请说明理由. 直线垂直平分，理由： 点与点 是 对应点， 直线垂直平分 . 考试考法 27 （3）写出图中其他相等关系.（至少写三对） ，， .（答案不唯一） 返回 考试考法 28 7. ［2025无锡月考］剪纸是中国名族文化的传统技艺，某市 民将一个正方形彩纸依次按如图①，如图②所示的方式对折， 然后沿图③中的虚线裁剪，则将图③的彩纸展开铺平后的图 案是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 29 8. 如图，在中， ， ，点是 上 任意一点，点和点分别是点关于和 的对称点，连 接和，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 考试考法 30 （第9题） 9. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点 叫做格点，线段 的两端点均在格点上.在图 中画一条不与重合的线段，使与 关于某条直线对称，且， 均为格点，这样 的线段能画( ) C A. 2条 B. 3条 C. 5条 D. 6条 考试考法 31 （第10题） 10.如图，将长方形沿翻折，点 的对 应点恰好落在边上，点的对应点为点 . 若 ，则 的度数为____. 【点拨】 将长方形沿翻折，点 的 对应点恰好落在边上， ， ， . 四边形 是长方 形，， . 返回 考试考法 32 轴对称 轴对称图形 两个图形成轴对称 垂直平分线 区别 联系 对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $