精品解析：湖南省湘一名校联盟2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

高三数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的方向相同，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 4. 已知正四棱台上､下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为（ ） A. B. 688 C. D. 888 5. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是两个相互独立的随机事件，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的所有正零点从小到大构成等差数列，则满足条件的的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 10. 已知是抛物线上三点，直线与的斜率互为相反数，直线的斜率为，则点的横坐标为__________. 11. 已知，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 12. 已知为数列的前项和，且. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求的表达式及最大值. 13. 将9个相同的小球放入甲､乙､丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球，假设每一种放球的结果都是等可能的，记甲､乙､丙盒中的小球个数分别为. （1）设事件“”为，求； （2）设为的中位数，求的分布列和数学期望. 14. A4纸是长､宽比为的矩形纸张.设一张A4纸的四个顶点分别为，以两长边的中点连线为折痕，将矩形折起，连接，得到如图所示的直三棱柱是的中点. （1）证明：平面平面； （2）设，三棱柱的体积为，且为钝角，求二面角的正弦值. 15. 已知椭圆的离心率为，上､下顶点分别为，且. （1）求的方程. （2）是椭圆的左顶点，是上除顶点外的任意一点，直线与交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求点的坐标（用表示）； （ii）证明：为定值. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性. （2）若无零点，但有两个不同的极值点， （i）求的取值范围； （ii）设为的两个极值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数的减法、乘法运算化简，即可得. 【详解】. 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性解不等式求得B，再利用交集的概念计算即可. 【详解】由，即，， 又，所以. 故选：B 3. 已知向量与的方向相同，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行坐标表示结合题意验证可得答案. 【详解】因向量与的方向相同，则， 则或. 若，，，满足题意； 若，，，不满足题意. 故选：D 4. 已知正四棱台上､下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为（ ） A. B. 688 C. D. 888 【答案】B 【解析】 【分析】根据正棱台的性质求出高，再利用体积公式计算. 【详解】如图，正四棱台，取上下底面正方形的中心， 再取分别为的中点，过作， 则由题意可得，，则， 则在中，， 则该四棱台积为. 故选：B 5. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按分类讨论，利用奇函数的性质以及指对运算法则解方程即可. 【详解】若，则 ，但 ，故 ； 若，则， 解得：， 但，与假设矛盾，故不成立； 若，则利用奇函数性质：， 由于，有，故， 因此：， 解得：. 综上：. 故选：A 6. 设是两个相互独立的随机事件，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及相互独立事件的概率公式求解. 【详解】由是两个相互独立，得，而 则，所以. 故选：D 7. 已知函数的所有正零点从小到大构成等差数列，则满足条件的的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】令得，分，和三种情况讨论即可求解. 【详解】由题意有：令，所以， 当时，所以，所以，所以，因为，所以成等差数列，满足题意， 当时，所以，即，所以，所以，所以， 当时，作出与的图像， 由图可知，，若成等差数列， 则公差为，分别为,符合题意，此时, 综上所述，的所有正零点从小到大构成等差数列，则满足条件的有3个， 故选：C. 8. 设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设则,在中，利用余弦定理得到的方程，再利用得到的方程，两个方程联立，结合即可求解. 【详解】如图所示： 设,则,在中，， 由余弦定理得， 化简得，即.又， 即， 即， 化简得 ，又 所以 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由求导得，则， 依题意，，解得. 故答案为：1. 10. 已知是抛物线上三点，直线与的斜率互为相反数，直线的斜率为，则点的横坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意根据斜率公式建立等式求解即可. 【详解】设， 则，， 因为直线与的斜率互为相反数， 所以，即，得， 因为直线的斜率为， 所以，即， 所以，即点的横坐标为. 故答案为： 11. 已知，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则,由三角恒等变换得，设，利用辅助角公式可得，从而可得，代入，整理得，求解后即可得答案. 【详解】设，则， 由， 可得 ， 设， 则有， 其中 所以， 所以， 即， 整理得， 解得， 又因为， 所以， 所以的最大值为， 即的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 12. 已知为数列的前项和，且. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求的表达式及最大值. 【答案】（1）； （2），20. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列求出通项公式. （2）利用分组求和法及等比数列前项和公式求和，再探讨数列的单调性求出最大项. 【小问1详解】 在数列中，，则，两式相减得， 而，，则，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， ，当时，；当时，， 即，所以当时，取得最大值. 13. 将9个相同的小球放入甲､乙､丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球，假设每一种放球的结果都是等可能的，记甲､乙､丙盒中的小球个数分别为. （1）设事件“”为，求； （2）设为的中位数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列: 1 2 3 4 ，数学期望为【解析】 【分析】（1）先计算基本事件总数，找出满足的情况，再根据古典概型概率公式计算结果. （2）先确定的可能取值，计算取不同值时的概率，列出分布列，再计算数学期望. 【小问1详解】 根据插板法，将9个相同的小球放入甲､乙､丙3个盒子中，每个盒子中至少放1个小球， 那么基本事件总数， 满足，且，的有共3种， 根据古典概型概率公式. 【小问2详解】 设为的中位数，的可能取值为， 当时，有共3种，所以， 当时，有 共9种，所以， 当时，有 共13种，所以， 当时，有共3种，, 的分布列: 1 2 3 4 的数学期望为 14. A4纸是长､宽比为的矩形纸张.设一张A4纸的四个顶点分别为，以两长边的中点连线为折痕，将矩形折起，连接，得到如图所示的直三棱柱是的中点. （1）证明：平面平面； （2）设，三棱柱的体积为，且为钝角，求二面角的正弦值. 【答案】（1）由且 为 中点，得， 又三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面 ，平面 ，所以平面 ， 又平面，所以平面平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面 ，在利用面面垂直的判定定理证得平面平面 ； （2）利用三棱柱的体积为求得，进而求出，建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 中点 ，故平面，又由（1）知，所以两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，由题意得， 所以三棱柱的体积， 所以，又为钝角，所以， 所以，即， 则，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 即， 设平面的法向量为， 则，取，则， 即， 设二面角的平面角为 ， ， 所以， 所以二面角的正弦值. 15. 已知椭圆的离心率为，上､下顶点分别为，且. （1）求的方程. （2）是椭圆的左顶点，是上除顶点外的任意一点，直线与交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求点的坐标（用表示）； （ii）证明：为定值. 【答案】（1）；（2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）联立直线与椭圆的方程求解； （ii）求出的坐标，化简，即可求证. 【详解】（1）由题意得，，，，得， 则的方程为； （2）（i），直线， 联立，得，得或， 则，代入中得，， 故； （ii）因，则由（i）可得，， 则直线的方程为，则， 因，则直线， 联立，得，即， 则， 则. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性. （2）若无零点，但有两个不同的极值点， （i）求的取值范围； （ii）设为的两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. （2）（i）区间（ii） 【解析】 【分析】（1）先求的导数，进而结合二次不等式的性质对分类讨论可得结果； （2）（i）根据函数有两个不同的极值点得出的一个取值范围，再根据函数无零点得出的另一个取值范围，最后取交集即可； （ii）先根据极值点得到的值，然后化简，再构造关于的函数，判断其单调性即可求出. 【小问1详解】 由题意得， 令，则，判别式， ①当时，解得，则恒成立，即恒成立，在上单调递增； ②当时，解得，则方程有个实根，由求根公式可知方程的解为， 由二次函数的性质可知在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述，当时， 在上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 【小问2详解】 （i）令，即， 由无零点，则直线与无交点，则， 又有两个不同的极值点，由（1）可知时满足题意， 故的取值范围为. （ii）不妨设，由（1）知，， 因为， 又为的两个极值点，，即， 可得，， 则 设，其中，，， ， 令，求导得， 故在上单调递增，又， ，则 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $