精品解析：广东省惠州市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

2028届高一·十一月期中考 数学科 试题 (满分 150 分.考试时间 120 分钟.) 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空集的性质，结合数集的符合表示逐一判断即可. 【详解】对于A，因为是任何集合的子集，N是自然数集，则A正确； 对于B，因为含有元素，不是空集，故B错误； 对于C，因为R是实数集，则，故C正确； 对于D，因为Q是有理数集，则，故D正确. 故选：B 2. 若函数是函数的反函数，则的值为（ ） A. 16 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数,则. 故. 故选：B. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4. 若则函数的图象必不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：令，则的图像如图所示， 不经过第二象限，故选B. 考点：1、指数函数图像；2、特例法解题. 5. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用配方法求出函数的最小值，结合二次函数的单调性、函数的定义域和值域进行求解即可. 【详解】， 当时，；当或时，. 因此当时，函数在区间上的最小值为， 最大值为，所以，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查了已知二次函数的定义域和值域求参数取值范围问题，考查了数学运算能力. 6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（ ）（参考数据:） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设至少经过个小时才能驾驶，由题意可得，计算即可. 【详解】设至少经过个小时才能驾驶， 则由题意得，则， 所以， 所以他至少经过6个小时才能驾驶. 故选：C. 7. 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据对数运算性质得，再利用对数函数单调性得，再作差、换底变形比较大小即可. 【详解】，， ， 所以 ， 因为， 所以，即，又，可得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB选项，可利用不等式性质进行判断；CD选项，利用作差法比较出大小. 【详解】A选项，若，则，不等式两边同除以得，A正确； B选项，若，则，故，不等式两边同除以得，B正确； C选项，， 因为，，所以，故，所以，C正确； D选项，，因为，所以，，， 但的正负不确定，故无法判断的正负，从而无法判断与的大小关系，D错误. 故选：ABC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 幂函数的图象不可能在第四象限内 B. 幂函数与常数函数是同一个函数 C. 当时，幂函数是增函数 D. 当时，幂函数 在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的图象性质逐项判断作答. 【详解】对于A，在幂函数中，当时，，因此幂函数的图象不可能在第四象限，故A正确； 对于B，幂函数的定义域为，函数的定义域为R，所以它们不是相同函数，故B错误； 对于C，当时，幂函数为，它在上为减函数，上为增函数，故C错误； 对于D，当时，幂函数在上单调递减，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 若函数在上的最大值、最小值分别为、，则 D. 令，若，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确. 【详解】由题意函数， 因为恒成立，即函数的定义域为， 又因为，所以不是奇函数，所以错误； 将的图象向下平移两个单位得到， 再向左平移一个单位得到， 此时，所以图象关于点对称， 所以的图象关于对称，所以B正确； 将函数的图象向左平移一个单位得， 因为， 即，所以函数为奇函数， 所以函数关于点对称， 所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值， 则，所以C正确； 由，可得， 由， 设，， 可得，所以为减函数， 可得函数为减函数， 所以函数为单调递减函数， 又由为减函数，所以为减函数， 因为关于点对称， 所以，即， 即，解得，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略： 1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为的形式； ②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解. 2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词命题，改写命题为否定形式即可. 【详解】由全称量词命题的否定是特称量词命题得 “”的否定为“”. 故答案为：. 13. 已知定义在上的函数满足， 且， 则 ___________. 【答案】4 【解析】 【分析】应用已知条件结合赋值法计算求解. 【详解】定义在上的函数满足， 且，  令，， 令，， 则 . 故答案为：4. 14. 已知，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析得，进而得到，从而利用“1”的代换与基本不等式即可得解. 【详解】因为， 则方程与有相同的解，不妨设为， 则，故，即，整理得， 因为， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得方程与有相同的解，从而得到，由此得解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值. （1）计算: （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由根式与指数幂的互化公式可得答案； （2）由指数幂的运算法则可得答案； （3）由对数的运算法则可得答案. 【小问1详解】 由，得： 原式. 【小问2详解】 由，，得： 原式， . 【小问3详解】 由 ，，； 可得原式. 16. 已知集合． （1）求集合； （2）若，，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式可得集合A，根据对数函数的单调性可得集合B；（2）将集合间的包含关系转化为不等式组求解可得所求范围． 【详解】（1）不等式即为， 所以， 解得， 所以． 因为对数函数 在上单调递增， 所以， 即， 所以． （2）由（1）得． ①当时，满足，此时， 解得． ② 当时，由得 ，解得， 综上． 所以实数的取值范围是． 【点睛】（1）集合的运算常与不等式的解法结合在一起考查，体现知识间的综合． （2）根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴将其转化为不等式（组）求解，解题时一定要注意不等式中的等号是否能成立，解题的关键是正确理解集合包含关系的定义． 17. 已知是定义在上的奇函数，且 （1）求的值; （2）用定义证明在上为增函数; （3）若对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，任取， 则， 因为，所以，， ，可得， ， 所以函数在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由和可得答案； （2）用定义证明在上为增函数即可； （3）根据（2）可求的最大值，从而可得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，可得， 所以，再由得 ，解得， 此时，满足，为定义在上的奇函数， 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数， 故时，的最大值为， 若对恒成立，则，解得. 所以的取值范围是. 18. 双曲函数是一类实际应用非常广泛的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).其中双曲正弦函数： ， 双曲余弦函数：(是自然对数的底数， ) . （1）求的值； （2）证明：双曲余弦公式； （3）已知关于x的方程 ， 在上有解， 求m 的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 因为 ，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）由函数新定义结合指数幂的运算可得； （2）由函数新定义结合指数幂的运算得证； （3）分离参数后再构造函数，分离常数换元令，再结合二次函数的单调性可求的值域，得解. 【小问1详解】 由题，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，在上有解， 即在上有解， 令，则， 令，因为，所以，所以， 所以，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，即， 要使得有解，则. 19. 已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数” （1）若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围 （2）若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证： （3）如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）因为为定义在区间上的“1阶增函数”，且， 则， 即，. 可得，所以. （3）存在，0 【解析】 【分析】（1）分析可知为上的严格增函数，即可得结果； （2）根据题意可得，进而分析证明； （3）根据题意利用反证法可得，再举例说明不恒成立，进而分析求解. 【小问1详解】 若为定义在区间上的“1阶增函数”， 可得对任取，均有， 可知为上的严格增函数，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在，使，则， 因为为定义在区间上的“2阶增函数”， 则对任意的，都有， 令，则对任意的，都有，与有上界矛盾， 若“2阶增函数”有上界，则对任意，都有. 假设存在，使， 则对任意的，都有，故，矛盾， 所以“2阶增函数”有上界，都有恒成立，即存在均满足题意， 假设存在符合题意，例如， 则在上是严格增函数， 且，则是有上界的“2阶增函数”. 但当时，有，矛盾， 所以的取值范围为，即的最小值为0. 【点睛】关键点点睛：对于（2）中问题：直接说明比较麻烦，可以利用反证法，说明，再举例说明不恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一·十一月期中考 数学科 试题 (满分 150 分.考试时间 120 分钟.) 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是函数的反函数，则的值为（ ） A. 16 B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若则函数的图象必不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（ ）（参考数据:） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， 10. 下列结论正确的是（ ） A. 幂函数的图象不可能在第四象限内 B. 幂函数与常数函数是同一个函数 C. 当时，幂函数是增函数 D. 当时，幂函数 在上单调递减 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 若函数在上的最大值、最小值分别为、，则 D. 令，若，则实数的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______. 13. 已知定义在上的函数满足， 且， 则 ___________. 14. 已知，若，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值. （1）计算: （2） （3） 16. 已知集合． （1）求集合； （2）若，，求实数的取值范围． 17. 已知是定义在上的奇函数，且 （1）求的值; （2）用定义证明在上为增函数; （3）若对恒成立，求的取值范围. 18. 双曲函数是一类实际应用非常广泛的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).其中双曲正弦函数： ， 双曲余弦函数：(是自然对数的底数， ) . （1）求的值； （2）证明：双曲余弦公式； （3）已知关于x的方程 ， 在上有解， 求m 的取值范围. 19. 已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数” （1）若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围 （2）若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证： （3）如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $