精品解析：吉林省长春市实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

吉林省长春市实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 命题人：高二数学备课组 审题人：贺阳 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据标准方程即可求解. 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 故选：B 2. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由等差数列可知：， 故选：C. 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求出答案. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即或， 当时，直线可化简为， 直线可化简为，所以两直线重合，不符合条件； 当时，直线可化简为， 直线可化简为，符合条件； 故选：A 4. 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得，即可由离心率公式求解. 【详解】因为双曲线的渐近线为，且经过点， 所以，又， 则该双曲线的离心率为， 故选：C. 5. 椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质计算即可求解. 【详解】由，得， 又椭圆的焦点为，所以且， 又，所以，解得. 故选：D 6. 已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系可知，结合椭圆的定义可得轨迹方程. 【详解】由已知圆和， 可知，，，，且， 又动圆与圆内切，同时与圆外切， 则，， 所以， 所以动点到两个定点，的距离之和为定值， 即满足椭圆的定义， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且长轴长度，焦距，即，， 所以， 椭圆方程为， 故选：C 7. 抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】易得直线MF的方程为，与抛物线方程联立，求得M，N的坐标，进而得到求解. 【详解】由抛物线得焦点为， 由题意，得直线MF的方程为，与抛物线方程联立， 消去得， 解得， 所以， ， 所以， 故选：D 8. 已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解. 【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为的重心， 所以即，所以. 因为点在椭圆上， 所以，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列的通项与前项和的关系式，可判断各个选项. 【详解】对于A：由  可得：， 因此，选项 A 正确： 对于B：由  可得： 因为 ，所以 ， 因此，选项 B 正确： 对于C：由  和 ，可得：， 则，故，因此，选项C错误； 对于D：由等差数列的前项和公式可得：， 由选项C可知：， 所以，因此，选项 D 正确. 故选：ABD 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线上横坐标为的点与圆上的点的最远距离为 B. 圆与圆的公共弦所在直线方程为 C. 圆上的点到直线的最远距离是1 D. 过点作圆的所有弦中，弦长最短为 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意知圆的圆心为，半径为，再根据点与圆上的点的距离的最值求法阿判断A；根据两圆的公共弦的求法判断B；根据直线与圆的位置关系结合点到直线的距离求解圆上的点到直线的最远距离判断C；根据圆的弦长的几何性质可判断最短弦为过且与垂直的弦，判断D. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径为， 对于A，直线上横坐标为的点的坐标为，易知在圆外， 所以到圆心的距离为， 所以直线上横坐标为的点与圆上的点的最远距离为，故正确； 对于B，由题知圆的圆心为，半径为，， 故两圆相交，公共弦所在直线方程为：， 即，故错误； 对于C，圆心到直线的距离为， 故圆上的点到直线的最远距离是，故错误； 对于D，点代入圆得，故点在圆内， 故最短弦为过且与垂直的弦，， 故弦长为，故正确； 故选：AD 11. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 过右焦点且斜率为1的直线与双曲线右支有2个交点 D. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据黄金分割比计算可得A正确，利用点差法计算可得，即B正确，确定一条渐近线的斜率为，可判断C错误.由斜率之积可判断D. 【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为，则较小部分为， 由题黄金分割比为，且 若为黄金双曲线， 则离心率为，即A正确； 对于B，设，其中， 又在双曲线线上，所以， 两式相减可得， 即，可得， 所以，可得B正确； 对于C，由离心率为可得，解得， 可得一条渐近线的斜率为，因为， 根据渐近线性质可知过右焦点且斜率为1的直线与双曲线左、右两支各有1个交点，即C错误. 对于D，易知，， 则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以 ， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和完全平方公式的应用，结合余弦定理和三角形面积公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 如图，设，则， 所以，得； 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 故答案为： 13. 设等差数列的前项和为，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列以及等差数列前项和的定义求解即可. 【详解】因为为等差数列，，， 所以，即，， 即，所以，， 解得，，所以， 所以. 故答案为：. 14. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为__________；点为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据过椭圆四个顶点分别作椭圆的切线，可得圆的方程，根据直线与圆相离，可得，即可由离心率公式求解. 【详解】过的四个顶点分别作椭圆的切线，则得到交点， 故这四个点在圆上，故该圆的圆心为原点，半径为， 因此蒙日圆为： 由上知的蒙日圆方程为， 由于动点在直线上，且恒为锐角， 故在圆外，因此直线与圆相离， 故，解得， 故离心率为，故， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：过椭圆的四个顶点的切线构成的矩形的外接圆即为蒙日圆,即可求解方程，根据恒为锐角，可得在圆外，因此直线与圆相离，根据点到直线的距离求解. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）证明数列是等差数列． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，，，利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程，即可求出和，由此即可求出结果； （2）由（1）即可求出，即，再根据等差数列的定义即可证明结果. 【小问1详解】 解：设各项均为正数的等差数列的公差为， 因为， 所以，解得，即， 所以； 即. 【小问2详解】 解：由（1）知，所以， 因为， 又因为 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 16. 已知圆过，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】（1）； （2），轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据条件联立方程求解圆心和半径； （2）通过向量关系设点和的坐标，利用代入法求点的轨迹方程. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； 【小问2详解】 设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，，. （1）求证：； （2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由线线垂直，证明线面垂直，即平面，再证明 （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的正弦值. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面, ， 又，且，平面，， ∴平面，又∵平面， ∴. （2）以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，，，， 直线的方向向量， 平面的法向量， 可知，∴， ，，， 设平面的一个法向量，∴取， 设平面的一个法向量，∴取， 记二面角的平面角为，，∴， ∴二面角的正弦值为. 【点睛】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，通过建立空间直角坐标系，通过法向量求二面角的大小，属于中档题. 18. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且. （1）求证：直线恒过定点，并求此定点； （2）若交于点，点的坐标为，请你求出的值； （3）在第（2）问的基础上，若是抛物线上的任一点，为抛物线的焦点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】（1）证明见解析，定点为； （2） （3）的最小值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据题意设直线方程为，进而与抛物线方程联立，再根据得即可判断定点； （2）根据得直线方程为，再结合（1）得； （3）根据（2）得抛物线，再根据抛物线的定义求解即可. 【小问1详解】 解：由题知直线斜率不为，且不过原点， 故设直线方程为， 联立方程得，， 所以，， 所以 因为，所以，解得， 所以直线方程为，即直线恒过定点 【小问2详解】 解：因为交于点，点的坐标为， 所以，直线方程，即 因为直线方程为， 所以，即. 【小问3详解】 解：由（2）知，故抛物线，焦点为，准线方程为， 如图，过点作，垂足为，由抛物线的定义得， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立，此时，代入抛物线方程得， 所以的最小值为，此时点的坐标为 19. 椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为. （1）求椭圆与双曲线的标准方程； （2）设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点； （3）过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程. 【答案】（1）， （2）设，则的中点， 由题意可知：，则， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减可得， 整理得，即， 又因为，则，且点均在直线上， 则点即为点，即为的中点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义以及双曲线的渐近线分析运算； （2）根据题意利用点差法分析运算； （3）根据题意讨论直线的斜率是否为0，结合韦达定理以及向量的线性运算分析运算. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次为、、， 则可得， 因为双曲线的焦点在x轴上，且渐近线是，则，即， 可得，即，所以， 又因为点在椭圆上，则的周长为， 解得， 可得， 所以椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 当直线的斜率为0时，则， 可得， 因为，则，解得， 又因为，则，解得，即； 当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为， 可得， 联立方程，消去x得， 则，解得或， 可得， 因为，则，整理得， 由，可得， 又因为，则， 整理得； 综上所述：点的轨迹方程为. 【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 命题人：高二数学备课组 审题人：贺阳 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 或 C. D. 4. 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线上横坐标为的点与圆上的点的最远距离为 B. 圆与圆的公共弦所在直线方程为 C. 圆上的点到直线的最远距离是1 D. 过点作圆的所有弦中，弦长最短为 11. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 过右焦点且斜率为1的直线与双曲线右支有2个交点 D. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 13. 设等差数列的前项和为，且，，则__________. 14. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为__________；点为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）证明数列是等差数列． 16. 已知圆过，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，，. （1）求证：； （2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值. 18. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且. （1）求证：直线恒过定点，并求此定点； （2）若交于点，点的坐标为，请你求出的值； （3）在第（2）问的基础上，若是抛物线上的任一点，为抛物线的焦点，求的最小值及此时点的坐标. 19. 椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为. （1）求椭圆与双曲线的标准方程； （2）设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点； （3）过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $