3.3.2抛物线的简单几何性质（2）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质（2） KAI的小炸鸡 https://www.58pic.com/newpic/32912639.html 复习回顾 图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率 x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 复习回顾 图形 标准方程 焦半径 焦点弦 通径 新知探究 直线和抛物线的位置关系 相离：无公共点 相切：1个切点 相交：1个交点 (直线与对称轴线平行) 相交：2个交点 O F x y 新知探究 判断直线和抛物线的位置关系 代数法 消去y： （直线斜率k存在） (1) p=0 ，方程(*)为一元一次方程 直线与对称轴平行或重合 方程(*)一解 直线与抛物线相交 k2x2 + 2(kb-p)x + b2 = 0 (＊) 一个公共点 新知探究 判断直线和抛物线的位置关系 代数法 消去y： （直线斜率k存在） k2x2 + 2(kb-p)x + b2 = 0 (＊) (2) p≠0 ，方程(*)为一元二次方程 ① △＜0 方程无实数根 相离 没有公共点 ② △＝0 方程有两个相等实根 相切 一个公共点 ③ △＞0 方程有两不等实根 相交 两个公共点 新知探究 判断直线和抛物线的位置关系 代数法 （直线斜率k不存在） 设直线方程为 x=m (x∈R) 直线与抛物线相离 ① ② 直线与抛物线相切 （切点为顶点） ③ 直线与抛物线相交 O F x y 新知探究 判断直线和抛物线的位置关系 以上过程可用框图表示如下：（直线斜率存在时） 联立直线方程与抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与对称轴 平行或重合 相交（一个交点） 计算判别式 △>0 △=0 △<0 相交 相切 相离 课堂练习 练习 已知直线l的斜率为k，且过定点P(-2,1) ， 抛物线y2 = 4x，试讨论实数k的取值范围，使直线与抛物线： (1)只有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)没有公共点 . 解: 由题意，设直线 , 由 可得① ① 当时，由方程①得 , 把代入，得 ， 此时直线与抛物线只有一个公共点 . 课堂练习 练习 已知直线l的斜率为k，且过定点P(-2,1) ， 抛物线y2 = 4x，试讨论实数k的取值范围，使直线与抛物线： (1)只有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)没有公共点 . ② 当时，方程①的判别式 （ⅰ）由，即，解得或, 所以当 或时，直线 与抛物线只有一个公共点. 综上，当或或 时，直线l与抛物线只有一个公共点. 课堂练习 练习 已知直线l的斜率为k，且过定点P(-2,1) ， 抛物线y2 = 4x，试讨论实数k的取值范围，使直线与抛物线： (1)只有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)没有公共点 . （ⅱ）由，即，解得， 综上，当 ，且时，直线 与抛物线有两个公共点. （ⅲ）由，即，解得或， 综上，当 或时，直线 与抛物线无公共点. ② 当时，方程①的判别式 课堂练习 练习册P129 自我评价 1. 过点P(0,1)，且与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( ) A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 B 新知探究 与弦长有关的问题 1. 焦半径 2. 焦点弦 通径长： 最短的焦点弦：通径 3. 一般弦长 A(x1,y1) B(x2,y2) M为AB的中点 课堂练习 练习册P131 探究3 已知抛物线的标准方程为y²=2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|= ，求AB所在直线的方程. 2x-y-p=0或2x+y-p=0 课堂练习 练习册P131 探究4 已知抛物线的标准方程为y²=2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|= ，求弦AB的中点M到y轴的距离. 课堂练习 练习册P132 要点2 典例 (1) 抛物线y²=4x上的点P到点(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是________. 抛物线中的最值问题 变式： 点P为抛物线y²=4x上一点，F为抛物线焦点，定点A(3,2)， PA与PF的距离之和最小的最小值是________. 课堂练习 练习册P132 要点2 典例 (2) 求抛物线y=-x²上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离. 抛物线中的最值问题 类题比较 椭圆与直线的距离最值问题 练1：已知椭圆 直线 椭圆上是否存在一点, 使得(1) 它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ (2) 它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ F1 F2 x O y 解: 课堂练习 中点弦问题 练2： 解1： (中点/斜率公式) 代点 作差 点差法 课堂练习 中点弦问题 练2： 解2： 联立+韦达+中点 韦达 定理 设而 不求 例题分析 书本P136 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. l F A B D O x y 例题分析 书本P136 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. O l F A x y B D 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴． 例题分析 书本P136 例6 O M B C D x y E P 练习 书本P138 练习 书本P138 练习 书本P138 练习 书本P138 练习 书本P138 练习 书本P138 练习 书本P138 感谢聆听！ 31 （1）焦点关于准线的对称点为； （2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12； （3） 关于轴对称,以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 的等边三角形． 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： 解：（1）由题意可得抛物线的焦点在轴的负方向上， 则焦点，准线方程为：， 所以焦点关于准线的对称点的纵坐标为：，可得， 由题意可得，解得， 所以抛物线的方程为：； （1）焦点关于准线的对称点为； （2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12； （3） 关于轴对称,以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 的等边三角形． 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (2)由题意可得抛物线的焦点在y轴的负方向上， 设抛物线的方程为:， 令，可得， 解得， 由题意可得：，解得， 所以抛物线的方程为：； （1）焦点关于准线的对称点为； （2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12； （3） 关于轴对称,以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 的等边三角形． 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： （3）由题意设抛物线的方程为：， 则焦点，，准线方程为：， 由题意可得准线上的两点也关于轴对称， 且焦点到准线的距离 所以抛物线的方程为：． 解得， 2． 点M(m，4)在抛物线上，为焦点，线MF与准线相交于点N， 求． 解：将的坐标代入抛物线的方程可得：，解得：， 所以，， 由抛物线的方程可得焦点，抛物线的准线方程为：， 所以直线的方程为：， 令，解得，即， 所以， 3． 设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的 距离为，求抛物线的方程和点的坐标． 解：设，由抛物线的方程可得准线的方程为：， 由题意可得，整理可得： 所以抛物线的方程为：，，． 4. 两条直线y=kx和y=-kx分别与抛物线相交于不同于原点的 A,B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？ 解：联立，解得或，可得，， 联立解得：，， 当直线过焦点时，，可得， 所以当时，直线恒过抛物线的焦点． 5.已知圆心在轴上移动的圆经过点且与轴、轴分别交于， 两个动点，求点的轨迹方程． 解：由题意知，，设动圆圆心为，则， 且有，所以，化简整理得， 所以点的轨迹方程为得 $