圆锥曲线之抛物线培优压轴 专题讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

抛物线 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 设，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 图形 标准方程 焦点 顶点坐标 对称性 对称轴________ 无对称中心 对称轴________ 无对称中心 准线 抛物线有关的常用二级结论： 1. 设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A、B两点，若，则，当e=1时，(为直线的倾斜角) 2. 若F为抛物线C：的焦点，AB是过焦点且倾斜角为(A在x轴上方),A,B,直线AB的倾斜角为，则有以下结论 ①AF=,BF=,AB=,AF=,BF=,；AB=， ②以AB为直径的圆与准线相切； ③， ④∠AHF=∠BHF ⑤∠A1FB1=90°,∠A1MB1=90°； ⑥在A点处的切线方程为 ⑦NA为抛物线的切线，且切点为O ⑧过准线上任意一点P作抛物线的两条切线，切点为M、N，则直线MN必过焦点F，且PM⊥PN； ⑨A1、O、B三点共线； ⑩抛物线有两点A、B满足OA⊥OB，则AB过定点(2p，0). · 与抛物线有关的计算 1. 过抛物线的焦点F作直线l与其交于A、B两点，若AF=4，则BF=( ) A.2 B. C. D.1 2. 过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=______. 3. 如图，抛物线C1：和圆C2:，其中p>0,直线l经过C1的焦点，依次交C1、C2于A、B、C、D四点，则的值为( ) A. B. C. D. 4. 已知抛物线C:与点M(-2,2)，过点C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若,则k=() A. B. C. D.2 5. 如图，已知抛物线的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(),B()两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N (1)求的值； (2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明:为定值. 6. 已知点F为抛物线E：的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且AF=3， (1) 求抛物线E的方程； (2) 已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切. 6.在直角坐标系xoy中，曲线C：与直线l：交于M、N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. · 与抛物线有关的线段最值 1. 已知F是抛物线C：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点，设FA>FB，则FA与FB的比值等于___________ 2.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p=________ 2. 已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1和l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与D、E交于两点，则AB+DE的最小值为_______ 3. A、B是抛物线上的两点，且满足OA⊥OB,求证：直线AB经过一个定点. 4. 已知抛物线C：，F为C的焦点，过焦点F且斜率为k(k>0)的直线与抛物线交于A、B两点，若FA=2FB，则k=_____ · 多选经典 （多选）1．AB为抛物线x2＝2py（p＞0）的弦，A（x1，y1），B（x2，y2），分别过A，B作的抛物线的切线交于点M（x0，y0），称△AMB为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．若弦AB过焦点F，则下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝2x0 B．底边AB的直线方程为x0x﹣p（y+y0）＝0 C．△AMB是直角三角形 D．△AMB面积的最小值为2p2 （多选）2．若直线l与抛物线C：y2＝2px有且仅有一个公共点P（x0，y0），且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为y0y＝px0+px．已知抛物线C：y2＝4x上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）．过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2，直线l1，l2交于点Q（x3，y3），过抛物线C上异于A，B的一点D（x4，y4）的切线l3分别与l1，l2交于点M，N，则（　　） A．直线AB的方程为y3y＝2x+2x3 B．点A，Q，B的横坐标