第五章 专题课 利用导数研究不等式-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

课后达标检测 1 1.已知函数,，若恒成立，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：选A. , 令得或,验证可知是函数 的最小值点，故 , 由恒成立得 恒成立， 即,所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2.若关于的不等式在上恒成立，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析：选A.当时，,令， ，则 问题等价于,则,所以,即 在 上单调递减，所以当时，,所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 3.已知函数 ，则下列有关描述正确的是( ) A., B., C., D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 解析：选B.因为, ， 所以,显然在 上是增函数，又 , , 所以在 上有唯一的零点， 设为,且 , 则为的极小值点，也是最小值点，且 , 即 , 故 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 易证函数在 上单调递增， 由于,所以 , 所以,所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.（多选）已知函数, ,若对任意的 ,均存在,使得,则 的取值可能是 ( ) A. B. C. D. √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 解析：选.设在上的值域为，在上的值域为 ，则 ； ,当时，,所以在 上单调 递增，所以 ; 因为，则当时，, . 令 , 对恒成立，则 恒成立， 即 ; 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 当时，在 上恒成立， 所以在 上单调递增， 所以,解得 . 综上所述， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.若命题,为假命题，则实数 的取值范围是 __________. 解析：由题得， 为真命题， 所以当时， 有解， 令, ， ， 所以在区间 上单调递增， 所以 ， 所以只需，即实数的取值范围是 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 6.若存在正数使成立，则实数 的取值范围是__________. 解析：因为,所以 . 令, ， 所以 , 所以在 上单调递增， 所以 , 所以的取值范围为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.（13分）已知函数,,求证：在区间 上， . 证明：设, , 则 , 当时， , 所以在 上单调递增， 所以 . 所以当时， , 即 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 8.（15分）已知函数, . （1）求曲线在点 处的切线方程；（5分） 解：因为 , 所以 , 所以切线的斜率, . 所以曲线在点处的切线方程为,即 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 （2）若对于任意的,都有成立，求实数 的取值范围. （10分） 解：若对任意的 恒成立， 则对任意的 恒成立， 即对任意的 恒成立， 令,,只需满足 , 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 又 , 因为,所以由得 , 当时，, 单调递减， 当时，, 单调递增， 所以当时，函数 取得极小值也是最小值， 即 , 所以 , 即实数的取值范围为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.（15分）已知函数, . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 （1）求 的单调区间和极小值；（7分） 解：函数, ,求导得 . 当时，,单调递增；当 时， , 单调递减； 当时，, 单调递增； 当 时，, 单调递减. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为 ， ，的极小值为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）证明：当时， .（8分） 证明：当 时， 令 , . 令, , 则 , 当且仅当 时等号成立, 所以函数在 上单调递增， 则 , 即,故在 上单调递增， 因此，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 10.（15分）已知函数 . （1）讨论 的单调性；（6分） 解： , 若,则,在 上单调递增； 若，则当时， , 当时， , 所以在上单调递减，在 上单调递增. 综上，当时,在 上单调递增； 当时，在上单调递减，在 上单调递增. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （2）若为正数，且存在使得,求 的取值范围.（9分） 解：因为,由（1）知 的最小值为 , 由题意得 , 即 , 令 , 则 , 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 所以在上单调递增，又 , 所以当时, ; 当时， . 故的取值范围为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $