第五章 专题课 函数单调性的综合问题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

专题课 函数单调性的综合问题 1 类型一 含参数函数的单调性 ［例1］ 已知函数，试讨论 的单调性. 【解】 函数的定义域为 . . ①当时，， 单调递增; ②当时，令，得 ,,此时 在 , ， 上单调递增. 令，得,，此时 单调递减; 2 ③当时，令,得,,此时 在 ，, 上单调递增， 令，得,，此时 单调递减. 综上，当时，函数在 上单调递增； 当时，函数在 ,,上单调递增，在, 上单 调递减； 当时，函数在,,上单调递增，在， 上单 调递减. 讨论含参函数的单调性的关键点 （1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数<m></m>在某 一区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不 重不漏，最后进行总结； （2）求含参函数<m></m>的单调区间，实质上就是解含参数的不等式 <m></m>,<m></m>. 4 ［跟踪训练1］ 已知函数，讨论函数 的单调性. 解：， ， ①当时，，函数在 上单调递增； ②当时，令，得 ； 令，得 ， 所以函数在,上单调递减，在, 上单调递增. 综上所述，当时，函数在 上单调递增； 当时，函数在, 上单调递减， 在, 上单调递增. 5 类型二 已知函数的单调性求参数 ［例2］ 若函数在区间上单调递增，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：依题意在区间上恒成立，即 在区间上恒成立.令 ，则 ，所以在 上单调递增， 则，所以 . √ 6 母题探究1 本例变为：若函数在区间 上单调递 减，则实数 的取值范围是_ __________. , 解析：依题意在区间上恒成立，即 在区间上恒成立.令 ，则 ，所以在 上单调递增，则 ，所以 . 7 母题探究2 本例变为：已知函数 的单调递减 区间为,，则 ___. 3 解析：由题意可得，函数的定义域为 ，且 的解集为,，将或 代入 中，解得 . 8 已知函数单调性求参数的方法 （1）分离参数法：<m></m>在<m></m>上单调递增（减）等价于 <m></m>在<m></m>上恒成立，将参数分离后可转化为求其函数 的值域问题，注意验证等号是否成立. （2）子集法:若能较容易地求出函数的单调区间，则可利用子区间来解决. 若<m></m>在<m></m>上单调递增（减），则区间<m></m>是相应单调区间的子集. 提醒 若函数<m></m>在区间<m></m>上不单调，则转化为<m></m>在<m></m>上 有解（需验证解的两侧导数是否异号）. 9 ［跟踪训练2］ 若函数 在其定义域的一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围是( ) A. B. C., D. 解析：选B.函数的定义域为，所以 ,即 ,令,得或 （舍去），由 于函数在区间内不是单调函数，所以 ， 即，解得,综上可得, . √ 10 类型三 函数单调性的应用 角度1 比较大小 ［例3］ 已知函数.若, , ，则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. 解析：由题意，得.因为,所以 恒成立，所以函数是增函数.因为 ,所以 ,所以,所以 ，即 . √ 11 在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再 根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新 的函数，由新函数的单调性来比较大小. 12 角度2 解不等式 ［例4］ 已知函数，若，则实数 的取值范 围是________. 解析：由函数 ， 可得 ， 即为 上的增函数， 故由可得,所以 ， 即实数的取值范围是 . 13 利用导数解不等式的解题思路 对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再 利用单调性解不等式，要注意函数定义域. 14 ［跟踪训练3］ （1）已知函数 ,则( ) A. B. C. D. 解析：选D.函数的定义域为 ,因为 ,所以在 上 是增函数.因为 ,所以 . √ 15 （2）函数的图象如图所示,为函数 的导函数，则不等式 的解集为________________. 解析：由题图知，当时， ; 当时, , 故不等式的解集为 . 16 $