第五章 阶段提升（三） 导数的几何意义及计算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

阶段提升（三） 导数的几何意义及 计算（范围：𝟓.𝟏∼𝟓.𝟐 ） 1 阶段提升（三） 2 题型一 导数的运算 1.下列求导运算正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选D.对于A， ，故A错误; 对于B, ，故B错误; 对于C, ，故C错误; 对于D, ，故D正确. √ 阶段提升（三） 3 2.已知函数的导函数为，且满足 ， 则 ( ) A.1 B. C. D.4 解析：选C.因为 ,所以 ,把代入 ,得 ,解得,所以 ， 所以 . √ 阶段提升（三） 4 3.求下列函数的导数： （1） ; 解： . （2） ; 解： . （3） ； 解： . 阶段提升（三） 5 （4） . 解：因为 , 所以 . 阶段提升（三） 6 注意 当函数解析式中含有待定系数（例如,, 等），求导时把待定 系数看成常数，再根据题意求解即可. 阶段提升（三） 7 题型二 导数的几何意义 1.曲线在 处的切线的倾斜角是( ) A. B. C. D. 解析：选D.由，得，所以当 时， ,又直线倾斜角的范围为 ，则曲线 在 处的切线的倾斜角是 ,故选D. √ 阶段提升（三） 8 2.过原点且与函数 图象相切的直线方程是( ) A. B. C. D. 解析：选C.因为，所以 ，设所求切线的切点为 ，则，由题知，，解得 ， 所以切线斜率，故所求切线方程为 .故选C. √ 阶段提升（三） 9 3.若曲线上点处的切线平行于直线，则点 的坐 标为______. 解析：设点,因为,所以 .所以 由已知得曲线在点处的切线斜率.解得 , 则,所以点的坐标为 . 阶段提升（三） 10 4.若曲线在处的切线与直线 互相垂 直，则实数 ___. 2 解析：由题可得,所以曲线 在 处的切线的斜率为.又因为该切线与直线 互 相垂直，且直线的斜率为,所以 ,解得 . 阶段提升（三） 11 （1）处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系 列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切 点在曲线上. （2）注意区分“在点处的切线”与“过点 的切线”. 提醒 注意曲线上点的横坐标的取值范围. 阶段提升（三） 12 题型三 两曲线的公切线问题 ［典例］ （2024· 新课标Ⅰ卷）若曲线在点 处的切线也是 曲线的切线，则 _____. 阶段提升（三） 13 解析：由得,,故曲线 在 点处的切线方程为 . 由得 , 设切线与曲线的切点为 , 由两曲线有公切线得，解得 , 则切点为, ,切线方程为 , 根据两切线重合，所以，解得 . 阶段提升（三） 14 解决两曲线的公切线问题的两种方法 （1）利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解. （2）设公切线<m></m>在<m></m>上的切点<m></m>,在<m></m>上的切点 <m></m>,则<m></m>. 阶段提升（三） 15 ［跟踪训练］ （1）已知直线既是曲线 的切线，也是 曲线 的切线，则( ) A., B., C., D., 解析：选A.方法一（设点法）：设直线与曲线 的切点 坐标为,,直线与曲线 的切点坐标 为, . 对求导得 , √ 阶段提升（三） 对求导得 ， 所以有 即解得 所以 . 阶段提升（三） 方法二（代入法）：对求导得,令,得 ,又 ,所以曲线在点处的切线方程为 ,即 ,同理得曲线在点处的切线方程为 ,结合 选项知A正确. 阶段提升（三） 18 （2）已知函数与函数.求曲线 与曲 线 在公共点处的公切线方程. 解：设曲线与曲线的公切点为 ,因为 ,,所以, , 令,即 , 解得或 （舍去）， 所以, , 所以所求的公切线方程为,即 . 阶段提升（三） 19 $