第四章 阶段提升（二）等比数列（范围4.3）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

阶段提升（二） 等比数列（范围： 4.3） 1 阶段提升（二） 2 题型一 等比数列基本量的运算 1.在等比数列中，,,则数列 的前10项和为( ) A. B. C. D. 解析：选D.设等比数列的公比为,则,即 ,解得 ,则数列的前10项和为 . √ 阶段提升（二） 3 2.等比数列的前项和为，已知,,则 ( ) A. B. C. D. 解析：选A.设等比数列的公比为 , 由,得 , 即,所以 , 又,所以,所以 . √ 阶段提升（二） 4 3.（2024·全国甲卷改编）已知等比数列的前项和为 ，且 . （1）求 的通项公式； 解：因为,所以 ,两式相减可得 . 即,所以等比数列的公比为 ， 因为 , 所以,故 . 阶段提升（二） 5 （2）求数列的前项和 . 解：因为 , 所以 . 阶段提升（二） 6 等比数列基本运算中的两种常用数学思想 方程的思想 等比数列中有五个量,,,, ,一般可以“知三求二”，通 过列方程（组）求关键量和 ,问题可迎刃而解 分类讨论的 思想 等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论，当 时，的前项和为;当时，的前 项和 为 注意 （1）等比数列求和需要讨论和 两种情况； （2）计算过程中，若出现,要注意 为奇数和偶数的区别. 阶段提升（二） 7 题型二 等比数列的性质 1.已知公比大于1的等比数列满足, ,则 ( ) A.4 B.8 C.12 D.16 解析：选C.因为,,公比 ,所以由等比数列的 性质可得,,解得,,所以 . √ 阶段提升（二） 8 2.设是等比数列的前项和，若,,则 ( ) A. B. C.5 D. 解析：选A.由题知，， ， 可得 ， 可得， ， ，则 . √ 阶段提升（二） 9 3.已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的4 倍，前3项之积为64，则 ( ) A.1 B.4 C.12 D.36 解析：选C.由题意得，，设等比数列的公比为 ，由 等比数列前项和的性质可得，即 ，所以 ，因为，所以，解得 ,又前3项之积 ,所以,所以 . √ 阶段提升（二） 10 等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项 的变形，三是前<m></m>项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的 变化特征，即可找出解决问题的突破口. 阶段提升（二） 11 题型三 等比数列的判定与证明 ［例1］ 已知数列的前项和为，且， . （1）求证： 是等比数列； 阶段提升（二） 12 【解】 证明：因为 ,① 所以 .② 得 , 所以 , 所以 , 又 , 所以, , 因为,所以 . 故是以为首项， 为公比的等比数列. 阶段提升（二） 13 （2）求数列 的通项公式. 解：由（1）知 , 因为,所以 . 阶段提升（二） 14 阶段提升（二） 15 ［跟踪训练1］ （多选）已知数列的前项和为 ，则下列说法正确 的是( ) A.若,则,, 成等比数列 B.若为等差数列，则 为等比数列 C.若,则数列 为等差数列 D.若,则数列 为等比数列 √ √ 阶段提升（二） 16 解析：选.对于A，当时有,此时,, 不成等比数 列，故A错误； 对于B，若为等差数列，设其公差为,则此时有 为大于零的常数，所以数列 为等比数列，故B正确； 对于C，若,则 , , 显然不 满足,所以数列 不为等差数列，故C错误； 对于D，若,则 , , 显然满足,所以数列 为等比数列，故D正确. 阶段提升（二） 17 题型四 等比数列的综合问题 ［例2］ 已知数列的首项,前项和为 ,且满足 . （1）求及 ; 【解】由，得.因为,所以 .由 ,,两式相减得 . 又也满足上式,所以数列是以为首项， 为公比的等比数列. 故 . 阶段提升（二） 18 （2）若满足,求 的值. 解：方法一：由（1）可得 ,所以 .因此.令,得 ,即 ,则且 . 故 的值可以为1，2，3，4，5. 方法二：由（1）可知，数列是公比 的等比数列，故 .后同方法一. 阶段提升（二） 19 与等比数列有关的综合问题的解题方法与技巧 （1）化归思想：将非等比数列转化构造成等比数列，以便于利用其公式 和性质解题. （2）等比数列公式和性质的灵活应用. （3）当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系， 又要关注各数列之间的相互联系. 阶段提升（二） 20 ［跟踪训练2］ 若正项数列满足, ,则数列 的通项公式是__________________. 解析：在正项数列中， ,则有 , 于是得,而 , 因此数列 是首项为3，公比为2的等比数列，则有 ,即,所以数列 的通项公式是 . 阶段提升（二） 21 $