5.3.2 第1课时 函数的极值-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

第五章 一元函数的导数及其应用 专题课 函数单调性的综合问题 1 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第1课时 函数的极值 2 古诗云：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以想象一下， 在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中最高处，但却是其附 近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近 的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值. 返回导航 新课导入 3 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 函数极值的概念 思考1 如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山 谷吗？ 提示：，，处是山峰，， 处是山谷. 思考2 你能从函数与导数角度描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 提示：以山峰处为例来研究，在 处，它附近的函数值都比它 小，且在处的左侧函数是单调递增的，即，在 处的 右侧函数是单调递减的，即，函数图象是连续不断的， 的 变化也是连续不断的，并且有 . 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.极小值点与极小值 如图，函数在点处的函数值 比它在点 附近其他点处的函数值都小， ；而且在 点 附近的左侧__________，右侧__________，则 把叫做函数的极小值点，叫做函数 的极小值. 返回导航 8 2.极大值点与极大值 如图，函数在点处的函数值比它在点 附近其他点 的函数值都大，；而且在点 附近的左侧__________，右侧 __________，则把叫做函数的极大值点，叫做函数 的极大值. 3.极大值点、极小值点统称为________，极大值和极小值统称为______. 提醒 （1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函数的极 值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点出现在 区间的内部，区间的端点不可能是极值点. 极值点 极值 返回导航 9 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）导数为0的点一定是极值点.( ) × （2）函数的极大值一定大于极小值.( ) × （3）函数 一定有极大值和极小值.( ) × （4）单调函数不存在极值. ( ) √ 返回导航 10 2.函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数 ( ) A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 解析：选C.设的图象与轴交点的横坐标从左到右依次为, , ,.由导数与函数极值的关系知，在, 处取得极大值， 在,处取得极小值，故函数 有两个极大值点，两个极小值点. √ 返回导航 11 3.若函数有极大值点和极小值点 ， 则导函数 的大致图象可能为( ) A. B. C. D. 解析：选C.三次函数的导函数为二次函数，其图象为抛物线，结合函数的 极值可知函数在区间上单调递增，在区间 上单调递减，在 区间上单调递增，所以在区间上， ，在区间 上,，在区间上， .观察所给的导函数图 象可知，只有C选项符合题意.故选C. √ 返回导航 12 关于函数极值的概念的理解 （1）可导函数<m></m>在点<m></m>处取得极值的充要条件是<m></m>， 且在点<m></m>附近的左侧与附近的右侧<m></m>的符号不同. （2）若<m></m>在<m></m>内有极值，则<m></m>在<m></m>内不是单调函数，即在某区 间上单调递增或单调递减的函数没有极值. 返回导航 13 二 利用导数求函数的极值 角度1 求不含参数的函数的极值 ［例1］ （对接教材例5）求下列函数的极值： （1） ； 返回导航 14 【解】的定义域为 ， ,令,得或 ; 令,得或;令 , 得 . 当变化时,, 的变化情况如表所示， 0 1 0 - 0 单调递增 1 单调递减 0 单调递增 当时,取得极大值 , 当时，取得极小值 . 返回导航 15 （2） . 解：函数的定义域为 , ,由可得 , 当变化时，, 的变化情况如表所示， 0 - 单调递增 单调递减 所以当时，有极大值，极大值为 ,无极小值. 返回导航 16 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求方程<m></m>的根； （3）用方程<m></m>的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并 列成表格； （4）由<m></m>在方程<m></m>的根左右两侧的符号，来判断<m></m>在这个根 处取极值的情况. 返回导航 17 ［跟踪训练1］ 求 的极值. 解：函数的定义域为 ， . 令,解得或 . 当变化时，, 的变化情况如表所示， 0 2 - 0 0 - 单调递减 0 单调递增 单调递减 返回导航 18 因此当时， 取得极小值， 且极小值为 ; 当时， 取得极大值， 且极大值为 . 返回导航 角度2 求含参数的函数的极值 ［例2］ 设函数,求函数 的极值. 【解】 函数的定义域为, . ①当时，,函数在上单调递增，函数 无极值. ②当时，令,解得 . 当时，;当时, . 所以在时取得极小值，且 ,无极大值. 综上可知，当时，函数无极值；当时，函数 的极小值 为 ，无极大值. 返回导航 20 求含参函数的极值的注意事项 （1）求函数的极值的关键就是求导函数的变号零点. （2）若函数解析式中含有参数，需对参数进行分类讨论后再求函数的单 调区间，最后确定函数是否有极值. （3）对参数的不同的取值范围进行分类讨论，实质上是增加了具体条件， 使问题得以解决. 返回导航 21 ［跟踪训练2］ 求函数 的极值. 解： , 当时，恒成立，即函数在 上是增函数，此时函数没有极值； 当时，令,得或 . 当变化时，与 的变化情况如表所示， 0 - 0 单调递增 单调递减 单调递增 所以的极大值为 , 极小值为 . 返回导航 22 应用点 利用函数极值确定参数 ［例3］ （1）已知函数在 处有极值8， 则 ( ) A. B.16 C. 或16 D.16或18 √ 返回导航 23 解析： ， 若函数在 处有极值8， 则即 解得或 当,时，，此时 不 是极值点，故舍去； 当,时， ， 返回导航 24 当或时， ； 当时，,故 是极值点， 故, 符合题意， 故，故 . 返回导航 （2）若函数在上无极值点，则实数 的取值范围是 __________. 解析：由得 ， 由于在上无极值点，所以在 上无变号零点， 所以在 上无变号零点， 所以,故 . 返回导航 26 母题探究 本例（2）“无极值点”变为“有极值点”，则实数 的取值范围是 __________. 解析：由于在 上有极值点， 所以在 上有变号零点， 所以在 上有变号零点， 所以 , 故 . 返回导航 27 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： （1）根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. （2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系 数法求解后必须验证根的合理性. 返回导航 28 ［跟踪训练3］ 已知 有极大值和极小值， 则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 解析：选D. , 因为 既有极大值又有极小值， 所以方程 有两个不相等的实数根， 那么 , 解得或 . √ 返回导航 29 PART 02 课堂巩固 自测 30 1.函数的定义域为开区间 ，导函数 在内的图象如图所示，则函数 在开区间 内极小值点的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选A.只有 为极小值点. √ 返回导航 31 2.函数在区间 上的极大值为( ) A. B. C. D.0 解析：选C.的定义域为,.令,得 .当 时，,当时,,故在 处取得极 大值 . √ 返回导航 32 3.设与是函数 的两个极值点，则常数 _ ___. 解析：因为, , 由题意得 所以 .经检验，符合题意. 返回导航 33 4.求下列函数的极值： （1） ; 解：函数的定义域为, . 令,解得 . 当时，，函数 单调递减； 当时，,函数 单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且极小值为,函数 无 极大值. 返回导航 34 （2） . 解：函数的定义域为 , . 令,得 . 当时，,函数 单调递减； 当时，,函数 单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且极小值为,函数 无 极大值. 返回导航 35 1.已学习：（1）函数极值的概念；（2）利用导数求函数的极值；（3）利 用函数极值确定参数. 2.须贯通：求函数的极值需考虑两个问题：一是函数的定义域，二是检查 导数值为0的点的附近左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极 值点，否则不是极值点. 3.应注意：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件. 返回导航 36 $