5.2.3 简单复合函数的导数-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦导数的计算与应用，涵盖复合函数求导、导数几何意义、实际问题中的瞬时变化率及高阶导数等核心知识点。课堂导入从基础求导法则切入，通过典型例题巩固复合函数求导，再过渡到切线方程、放射性衰变等应用，最后延伸到凸函数判断，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于结合放射性衰变、汽水温度变化等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过逻辑推理（如含f'(π/4)的导数方程求解）和符号表达（精确求导与实际意义解释），发展数学思维与语言能力。例如温度变化问题中，通过求导解释瞬时变化率，帮助学生深化理解，教师可借此提升教学情境性与逻辑性。

课后达标检测 1 1.已知函数的导数为，则 的导数为( ) A. B. C. D. 解析：选B.由复合函数的求导公式得，的导数为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.设,则 ( ) A.1 B. C. D. 解析：选B.,故 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.已知函数,则在 处的导数为( ) A. B. C. D. 解析：选A.由已知可得 ，所以 ,解得 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断 减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量 （单位：太贝克）与时间 （单位：年）满足函数关系： ，则铯137的含量在 时的瞬时变化率为( ) A.太贝克/年 B. 太贝克/年 C.太贝克/年 D. 太贝克/年 解析：选A.依题意， ，所以 ,所以铯137的含量 在 时的瞬时变化率为 （太贝克/年）.故选A. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.若，曲线在点 处的切线的斜率为 2，则 ( ) A.1 B.1或2 C. 或2 D.2 解析：选B. ， 根据导数的几何意义可得 ,所以 ，所以，或，所以 或 .故选B. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.（多选）下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选.对于A， ，故A正确; 对于B， ，故B错误; 对于C， ，故C正确; 对于D， ，故D错误. √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7.函数 是由__________________两个函数复合而成的. 和 解析：函数是由和 两个函数复合而成的. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 8.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ___. 2 解析：易知, , 故,则 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 9.函数的图象在点, 处的切线方程为___________. 解析：因为 ， 所以 ， 所以， ， 则所求切线方程为 ， 即 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 10.（13分）求下列函数的导数： （1） ;（4分） 解：令,则 , 所以, . 所以 . （2） ;（4分） 解：令,则 , 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 （3） .（5分） 解：原函数可以看作 , 其中可以看作和 的复合函数， 可以看作和 的复合函数， 则 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 11.曲线在点处的切线与直线和 围成 的三角形的面积为( ) A. B. C. D.1 解析：选A.如图所示，,则 , 所以曲线在点处的切线方程为 ，当 时，.由 得,所以， ，则围成的三角形的面积为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 12.函数 的导数是( ) A. B. C. D. 解析：选A.令,,,则 .故选A. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 13.（13分）已知函数 . （1）求 的解析式；（6分） 解： . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 （2）求曲线在点, 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面 积.（7分） 解：由（1）知 ， ， 得切线方程为 ， 当时，，当时， , 所以所围成的三角形的面积 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间 （单位：）满足函数关系 . （1）求 ，并解释其实际意义；（7分） 解：由，求导得 ， 所以 ， 它的实际意义为：在第时，汽水温度的瞬时变化率为 ， 说明在第附近，汽水温度大约以 的速率下降. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 （2）已知摄氏度与华氏度（单位：）满足函数关系 ， 求关于 的导数，并解释其实际意义.（8分） 解：依题意， ，求导 得 ， 所以关于的导数为 ， 它的实际意义为：在第时，汽水温度的瞬时变化率为 ， 说明在第附近，汽水温度大约以 的速率下降. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 15.（多选）给出定义：若函数在上可导，即 存在，且导函数 在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记 ， 若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在 ， 上是凸函数的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 解析：选.对于A， , 则,,在,上恒有 ， 所以在, 上是凸函数,故A符合题意； 对于B， , 则,，在,上恒有 , 所以在， 上是凸函数，故B符合题意； 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 对于C，,则,,在, 上 恒有 ， 所以在, 上是凸函数，故C符合题意； 对于D， ， 则 , ，在,上恒有 ， 所以在, 上不是凸函数，故D不符合题意. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $