5.2.3 简单复合函数的导数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

第五章 一元函数的导数及其应用 1 5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数 2 海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜， 油膜的面积（单位：）与油膜的半径（单位： ）的函数解析式为 .油膜的半径随着时间（单位：）的增加而扩大，假设 关于的函数解析式为.油膜的面积关于时间 的瞬时变 化率是多少呢？要解决这个问题就要学习本节复合函数的导数. 返回导航 新课导入 3 1.了解复合函数的概念，能求简单复合函数的导数. 2.会利用复合函数的导数解决一些简单的实际应用问题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 复合函数的概念 思考 我们常说为“正弦函数”，而 为“正弦型函数”，那 么 是由哪些初等函数构成的？ 提示：记,则可以看作正弦函数和 两个 初等函数以一种“嵌套”的方式组成. 返回导航 7 ［知识梳理］ 复合函数的概念： 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量, 可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和 的复合 函数，记作 ________. 返回导航 8 ［例1］ 指出下列函数是怎样复合而成的. （1） ; 【解】是由函数, 复合而成的. （2） . 解：是由函数, 复合而成的. 返回导航 9 判断复合函数的复合关系的一般方法 从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式， 各层的中间变量结构也是基本初等函数关系.这样一层一层分析，最里层应 是关于自变量<m></m>的基本初等函数. 返回导航 10 ［跟踪训练1］ （多选）下列哪些函数是复合函数( ) A. B. C. D. 解析：选 不是复合函数；B，C，D都是复合函数. √ √ √ 返回导航 11 二 复合函数的导数 思考 如何求函数 的导数？ 提示： ，由两个函数相乘的求导法则可知， ；从整体上来看，外层函数是 ， 它的导数，内层函数是，它的导数 ，发现 . 返回导航 12 ［知识梳理］ 复合函数的导数： 一般地，对于由函数和复合而成的函数 ，它 的导数与函数,的导数间的关系为________.即对 的导数等于对的导数与对 的导数的______. 乘积 返回导航 13 ［例2］ （对接教材例6）求下列函数的导数： （1） ； 【解】设，则 ， 所以 . 返回导航 14 （2） ； 解：设，则 ， 所以 . （3） . 解：设，则 ， 所以 . 返回导航 15 求复合函数的导数的步骤 返回导航 16 ［跟踪训练2］ 求下列函数的导数： （1） ; 解：,设, , 则 . （2） ; 解：函数可以看作函数和 的复合函 数，所以 . 返回导航 17 （3） . 解：因为,所以 可看作 和 的复合函数，所以 . 返回导航 18 应用点 复合函数的导数的应用 角度1 与切线有关的问题 ［例3］ 已知函数的图象在 处的切线与直线 垂直，则 ( ) A. B. C. D. 解析：函数,求导得, 的图象在 处的切线斜率为,又 的图象在 处的切线与直线垂直,所以,解得 .故选B. √ 返回导航 19 求复合函数图象的切线的方法步骤 （1）判断问题是求复合函数图象在某点处的切线还是过某点的切线，若 不知道切点，则需先设切点的坐标. （2）求出复合函数的导数，代入切点坐标求得切线的斜率，表示出切线 的点斜式方程，进一步求解. 返回导航 20 角度2 复合函数的导数的实际应用 ［例4］ （对接教材例7）某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足 关系,其中的单位是,的单位是 ，求 函数在 时的导数，并解释它的实际意义. 【解】 由，求导得 ，当 时， .它的实际意 义是：在附近，潮水的高度大约以 的速度上升. 返回导航 21 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的 导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变 化状况. 返回导航 22 ［跟踪训练3］ （1）已知函数，则曲线在 处的切 线的斜率为____. 解析：由题意可知 ， 所以 . 返回导航 23 （2）若曲线在处的切线与直线平行，且与的距离为 ， 求直线 的方程. 解：由，求导得 ， 得，则切线方程为 ， 即.因为直线与切线平行，可设直线 的方程为 . 两平行线间的距离 ， 解得或 . 故直线的方程为或 . 返回导航 24 PART 02 课堂巩固 自测 25 1.函数 的复合过程正确的是( ) A., B., C., D., 2.已知，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为,所以 ，故选A. √ √ 返回导航 26 3.曲线在点, 处的切线的斜率是___. 解析：因为 , 所以 , 所以曲线在点,处的切线的斜率为 . 返回导航 27 4.已知某质点的位移与移动时间满足，则质点在 时的瞬 时速度是___. 8 解析：由,得,当 时， ,所以质点在 时的瞬时速度是8. 返回导航 28 1.已学习：（1）复合函数的概念；（2）复合函数的求导法则；（3）复合 函数的导数的应用. 2.须贯通：对复合函数求导，熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出 函数的复合过程，可直接运用公式，由外及内逐层求导. 3.应注意：（1）求复合函数的导数时应把握结构特征正确分解函数；（2） 求导时要分清是对哪个变量求导. 返回导航 29 $