4.4 数学归纳法-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，通过“稻草原理”和多米诺骨牌效应导入，联系社会学现象引出递推思想，衔接数列中的归纳推理，构建从具体情境到抽象原理的学习支架。 其亮点在于以问题驱动（如袋子小球、骨牌倒下条件）培养数学思维，例题覆盖等式、不等式证明及“归纳—猜想—证明”，体现严谨推理。课堂小结明确递推关键与假设核心，助力学生掌握证明逻辑，教师可直接用于教学，提升效率。

第四章 数列 1 4.4 数学归纳法 2 往一匹健壮的马身上放一根稻草，马毫无反应；再添加一根稻草，马 还是丝毫没有感觉……一直往马身上添加稻草，当最后一根轻飘飘的稻草 放到了马身上后，马竟不堪重负瘫倒在地.这在社会学里，取名为“稻草原 理”.这也是多米诺骨牌效应的一个体现，其中更蕴含着一种递推的数学思 想，下面我们来学习一下这种数学思想. 返回导航 新课导入 3 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 数学归纳法 思考1 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋 子里面的小球都是绿色的？ 提示：不能.通过考察部分对象，得到一般结论的方法，叫不完全归纳法. 不完全归纳法得到的结论不一定正确. 返回导航 7 思考2 在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示：要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一 块倒下，这样，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒 下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方 法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其 结论是正确的. 返回导航 8 ［知识梳理］ 一般地，证明一个与_________有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当 时命题成立； （2）（归纳递推）以“当 时命题成立”为条件，推出 “当__________时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法. 正整数 返回导航 9 ［即时练］ 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）与正整数 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) × （2）应用数学归纳法证明数学命题时 .( ) × （3）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.( ) √ （4）推证时可以不用 时的假设.( ) × 2.在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为 条时，第一步应验 证 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选C.边数最少的凸 边形是三角形. √ 返回导航 10 3.用数学归纳法证明.假设 时，不等式 成立，则当 时，应推证的目标不等式是 _ ___________________________. 解析：从不等式结构看，当时，左边最后一项为 ,前面的分 母的底数是连续的整数，右边的式子为 ,即应推证的目标不等式 为 . 返回导航 11 有关数学归纳法的注意事项 （1）要明确<m></m>的取值范围，确定<m></m>的第一个值，要注意<m></m>取第一个值时， 左边可以是一项也可以是多项； （2）从<m></m>到<m></m>时，等式或不等式左边需添加的项可以通过对 <m></m>与<m></m>时对应的两个式子作差得到. 返回导航 12 二 用数学归纳法证明等式 ［例1］ （对接教材例1）用数学归纳法证明： ． 返回导航 13 【证明】 ①当时，左边，右边 ，显然等式成立. ②假设当 时，等式成立， 即 ， 则当 时， , 故当 时，等式也成立， 由①②可得， 成立. 返回导航 用数学归纳法证明等式的方法 返回导航 15 ［跟踪训练1］ 用数学归纳法证明： . 证明：①当时，左边，右边 ，等式成立； ②假设当 时，等式成立，即 , 则当 时， , 即 时，等式成立. 综上，原等式得证. 返回导航 16 应用点1 用数学归纳法证明不等式 ［例2］ 用数学归纳法证明： ． 【证明】 ①当，则左边，右边 ，故不等式成立. ②假设当且时， 成立， 则当 时， ， 所以当 时，不等式也成立. 由①②知， 恒成立. 返回导航 17 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 返回导航 18 ［跟踪训练2］ 求证：不等式 . 证明：①当时， 成立； ②假设当时，不等式 成立， 那么当 时， . 因为当时，,, ， , 则以上各式累加得 , 返回导航 19 所以 , 即当 时，该不等式也成立. 综合①②可知，不等式 成立. 返回导航 应用点2 归纳—猜想—证明 ［例3］ 在数列中，, , （1）求,, ; 【解】 , , . 返回导航 21 （2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明. 解：猜想数列的通项公式为 , 证明如下：①当时，左边,右边 ，该通项公式成立; ②假设当时，该通项公式成立，即 , 那么 , 即当 时，该通项公式也成立， 根据①②可知，该通项公式对任意正整数都成立，即 . 返回导航 22 “归纳—猜想—证明”的一般环节 返回导航 23 ［跟踪训练3］ 已知数列的通项公式为,记该数列的前 项和为 . （1）计算，，， 的值； 解：因为 , 所以 ， ， ， . 综上，，，， . 返回导航 24 （2）根据计算结果，猜想 的表达式，并进行证明. 解：猜想, . 证明如下：当时， ，猜想正确. 假设当 时，猜想也正确， 则有 , 当 时， , 所以当时，猜想也正确，综上所述，， . 返回导航 25 PART 02 课堂巩固 自测 26 1.用数学归纳法证明等式 ,验 证当 时，左边应取的项是( ) A.1 B. C. D. 解析：选D.当时，左边 . √ 返回导航 27 2.已知命题 及其证明： （1）当时，左边，右边 ，所以等式成立. （2）假设当 时等式成立，即 成立，则当 时, ,所以 时等式也 成立. 由知，对任意的正整数 命题都成立.判断以上评述( ) 返回导航 28 A.命题、证明都正确 B.命题正确、证明不正确 C.命题不正确、证明正确 D.命题、证明都不正确 解析：选B.证明不正确，错在证明当时，没有用到假设 时 的结论.而通过等比数列的前 项和公式证明命题正确. √ 返回导航 3.用数学归纳法证明 的过程 中，当时，左端应在 时的基础上加上_________. 解析：当时，左端 ; 当时，左端 . 所以当时，左端应在时的基础上加上 . 返回导航 30 4.用数学归纳法证明： . 返回导航 31 证明：①当时，左边，右边 ，等式成立. ②假设当 时，等式成立， 即 , 那么当 时， . 即当 时，等式也成立. 根据①②可知，等式对任意正整数 都成立. 返回导航 32 1.已学习：（1）数学归纳法的概念；（2）用数学归纳法证明等式、不等 式及“归纳—猜想—证明”问题. 2.须贯通：（1）递推是关键：正确分析由到 时，式子项数 的变化，这是应用数学归纳法成功证明问题的保障； （2）利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学 归纳法证明的核心环节，否则就不是数学归纳法证明. 3.应注意：（1）对题意理解不到位导致 的取值出错；（2）推证当 时忽略 时的假设. 返回导航 33 $