4.3.1 第2课时 等比数列的判定及实际应用-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦等比数列核心内容，涵盖定义、通项公式、性质及应用。通过折纸厚度、计算机价格等生活实例导入，从基础递推关系（如\(a_{n+1}=2a_n\)）到性质判定（如\(b^2=ac\)的充要条件），再到林场存量计算等实际问题，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于融合情境与逻辑，以“数学眼光”观察现实问题（如折纸厚度成等比数列），通过多选题（第11题）辨析等比数列判定培养“数学思维”，用林场存量模型（题目10）体现“数学语言”表达。题型分层，从基础到素养拓展，助力学生深化理解，教师可借实例提升教学实效，促进学生应用意识与理性思维发展。

课后达标检测 1 1.在数列中，对任意的,都有 ,则 ( ) A.1 B. C. D. 解析：选D.由知，,故 是等比数列， 且,则 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法， 为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张长为 的卫生纸，最多 对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为 ，第2次对折后的纸张厚度为 ， ，以此类推，设纸张未折之前的厚度为，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题意数列是等比数列，公比是2，且 ，所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.已知是数列的前项和，且,,则 ( ) A. B. C. D. 解析：选A.由知数列 是公比为4的等比数列.因为 ,,所以 . 因此数列的通项公式为,所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“,, 成等比数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选C.因为,,是的三边，所以,,均不为0，则由 , 可得,所以,, 成等比数列，即充分性成立； 反之，由,,成等比数列，可得 ,必要性成立， 所以“”是“,, 成等比数列”的充要条件. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.已知等比数列的各项均为正数，若,, 成等差数列，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选C.设等比数列的公比为,因为,, 成等差数列，所以 ,则 , 又因为,所以,解得 , 而数列的各项均为正数，所以 . 所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.（多选）若数列对任意 都满足 ,则下面关于数列 的说法正确的是 ( ) A. 可以是等差数列 B. 可以是等比数列 C. 可以既是等差数列又是等比数列 D. 可以既不是等差数列又不是等比数列 解析：选.因为 ,所以 或,即或 ,当 ,时， 是等差数列（公差为2）或是等比数列 （公比为2）；可以既不是等差数列又不是等比数列，故选 . √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7.已知数列满足,,且数列为等比数列，则 ____. 16 解析：因为数列满足,,且数列 为等比数列，所 以公比,故,则 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 8.计算机的价格不断降低，若每年计算机的价格降价 ，则现在价格为 8 100元的计算机3年后的价格可降低为_______元. 2 400 解析：由题意，现在价格8 100元的计算机3年后的价格可降低为 （元）. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 9.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正 方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形， ，这样共 画了10个正方形，则第10个正方形的面积为_______. 2 048 解析：依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项， 为公比的等比数 列,所以 ,所以第10个正方形的面积 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 10.（13分）2024年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为 和 ，甲林场木材存量每年比上年递增 ，而乙林场木材存量每年比上 年递减 . （1）求哪一年两林场木材的存量相等？（6分） 解：设经过 年两林场木材的存量相等， 即,解得 , 故到2025年两林场木材的存量相等. （2）问两林场木材的总存量到2029年能否翻一番？（7分） 解：令,则 ,故到2029年不能翻一番. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 11.（多选）已知数列 ,下列选项不正确的是( ) A.若,，则 为等比数列 B.若,，则 为等比数列 C.若,,，则 为等比数列 D.若,，则 为等比数列 √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 解析：选.对于A,由知,则数列 不一定是等比数列； 对于B，D，满足条件的数列中可以存在零项，故数列 不一定是等比数 列； 对于C，由知， ,两式相除得 ,故数列 是等比数列. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 12.已知数列为等比数列，若数列 仍为等比数列，且 ，则 的值为___. 3 解析：因为为等比数列，设公比为,所以 ，又因为 数列 为等比数列，所以 ，①②联立可得 ， 即，解得，即数列为常数列，又 ，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 13.（13分）已知数列的前项和为，， ， ，其中 为常数. （1）证明： ；（6分） 解：证明：因为 ， ， 所以 ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 （2）若数列为等比数列，求 的值.（7分） 解：由（1）知， ， 当时， ， 两式相减，得 ， 所以数列从第二项起成等比数列，且公比 . 又 ，即 ， 所以 .若数列 为等比数列， 则,则,解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）已知数列满足,,设 . （1）求，， ；（3分） 解：因为数列满足 ， ，可得, ， 又因为，可得， ， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；（5分） 解：数列为等比数列.理由如下：由数列满足 ，且 ，可得，又因为 ，可得 ， 因为，所以数列是以1为首项， 为公比的等比数列. （3）求 的通项公式.（7分） 解：由（2）得 ， 因为，可得 ， 所以的通项公式为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 15.（多选）在数列中，如果对任意 都有 为常数，则称为等差比数列， 称为公差比，下列说法正确的是( ) A.等比数列一定是等差比数列 B.等差比数列的公差比一定不为0 C.若，则数列 是等差比数列 D.若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为2 √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 解析：选.对于数列，考虑,则,, 无 意义，故A错误； 若等差比数列的公差比为0,即,则 ,则在 中分母为0，无意义，故公差比一定不为0，故B正确； 若 , 则，所以数列 是等差比 数列，故C正确； 若等差数列是等差比数列，对于 ， 则，， ， ，故D错误. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 $