4.3.1 第2课时 等比数列的判定及实际应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦等比数列的判定、实际应用及综合应用，通过复习等比数列概念导入，以例题（如前n项和证明、对数等差数列证明）搭建从概念到判定方法的学习支架，结合实际问题延伸应用，形成连贯知识脉络。 其亮点在于以数学思维培养为核心，通过定义法、等比中项法的例题与跟踪训练引导逻辑推理，结合车辆贬值、酒精剩余等实例让学生用数学眼光观察现实，课堂小结系统梳理方法，助力学生提升推理与应用能力，为教师提供清晰教学路径。

第四章 数列 4.3 等比数列 1 4.3.1 等比数列的概念 第2课时 等比数列的判定及实际应用 2 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 3 PART 01 新知学习 探究 4 一 等比数列的判断与证明 ［例1］ 已知数列的前项和满足条件 .求证：数列 是等比数列. 返回导航 5 【证明】 根据题意，数列满足 ，① 当时，有 ， 所以 ， 当，时，因为 ， 所以 ，② 得 ， 即 . 由，得 ， 所以 ， 由等比数列定义知数列是以为首项， 为公比的等比数列. 返回导航 6 ［例2］ 已知数列满足，且，， 成等差数列. （1）证明： 为等比数列； 【解】证明：因为 ,, 成等差数列，所以 , 所以,又，所以数列 为等比数列. 返回导航 7 （2）若，，求数列 的通项公式. 解：由（1）可设等比数列的公比为,且 . 由已知得 解得 因为 ,所以 , 所以 . 返回导航 8 等比数列的判定与证明方法 （1）定义法：<m></m>或<m></m> 数列<m></m>是等 比数列； （2）等比中项法：<m></m>且<m></m> 数列<m></m>是等比数列； （3）通项公式法：<m></m> 数列<m></m>是等比数列. 提醒 （1）要判定一个数列不是等比数列，只要找到此数列中连续的三项 不成等比数列即可； （2）在解答题中，证明一个数列是等比数列采用判定方法中的定义法与 等比中项法. 返回导航 9 ［跟踪训练1］ 已知数列满足, . （1）证明：数列 是等比数列； 解：证明：因为,所以 . 因为 , 所以, , 所以 , 所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）求数列 的通项公式. 解：由（1）知,所以 . 返回导航 10 二 等比数列的实际应用 ［例3］ （对接教材例4、例6）某人买了一辆价值13.5万元的新车，预测 这种车会按每年 的速度贬值. 返回导航 11 （1）用一个式子表示 年后这辆车的价值； 【解】设从第一年起，每年这辆车的价值（单位：万元）依次为, , , ，由题意得 , , , …… , 由等比数列的定义，知数列 是以13.5为首项，以 为 公比的等比数列， 即 . 所以年后这辆车的价值为 （万元）. 返回导航 12 （2）如果他打算用满4年后卖掉这辆车，那么他大概能得到多少钱？ （结果保留一位小数，参考数据：， ， ） 解：由（1）得 , 所以用满4年后卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元. 返回导航 13 等比数列的实际应用求解思路 （1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型； （2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出 未知元素； （3）针对所求结果作出合理解释. 返回导航 14 ［跟踪训练2］ 从装有纯酒精的容器中倒出 ，然后用水填满；再倒 出，又用水填满；…….连续进行次，容器中的纯酒精少于 ， 则 的最小值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 √ 返回导航 15 解析：选B.由题意得连续进行了 次后，容器中纯酒精的剩余量组成等比 数列 , 则数列是以为首项， 为公比的等比数列， 所以 ， 由题意可得 ， 因为， ， 所以且 . 返回导航 16 三 等比数列的综合应用 ［例4］ （对接教材例3）已知公差不为0的等差数列的前项和为 , 且,,成等差数列，,, 成等比数列. 返回导航 17 （1）求数列 的通项公式； 解：设等差数列的公差为 . 由已知可得 即又 ， 解得 所以, . 返回导航 （2）若,,成等比数列，求及此等比数列的公比 . 解：由（1）可得 , 所以, . 因为，， 成等比数列， 所以 , 所以,解得 , 所以此等比数列的公比 . 返回导航 19 解决等差数列、等比数列的综合问题应注意等差数列、等比数列的公 式和性质的灵活应用，当题目中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列 的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系. 返回导航 20 ［跟踪训练3］ 设等比数列满足, . （1）求 的通项公式； 解：设等比数列的公比为 , 则 . 由已知得解得 所以的通项公式为 . 返回导航 21 （2）记为数列{的前项和.若,求 . 解：由（1）知,故 . 由 得， , 即 , 解得（舍去）， . 返回导航 22 PART 02 课堂巩固 自测 23 1.已知数列对任意的且,满足,且 , ,则数列 的通项公式为( ) A. B. C. D. 解析：选B.由题意可知数列是等比数列，首项,公比 , 所以 . √ 返回导航 24 2.（多选）已知数列是公比为的等比数列，且,, 成等差数列， 则公比 的值为( ) A. B. C.1 D. 解析：选.由题意知,所以,又 ,则 ,解得或 . √ √ 返回导航 25 3.已知三个圆柱的体积成以10为公比的等比数列.第一个圆柱底面的直径为 ，第二、三个圆柱底面的直径均为 ，第三个圆柱的高为 ，则第一、二个圆柱的高分别为_ _______和________. 解析：设第一个圆柱的高为,第二个圆柱的高为 , 则 , 故, . 返回导航 26 4.已知各项均不为零的数列的前项的和为，且满足 , .求数列 的通项公式. 解：因为，当，时， ，两式相 减得 ， 由得，即 ，满足上式，因此 ，,且 , 于是数列 是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为 . 返回导航 27 1.已学习：（1）等比数列的判断与证明. （2）等比数列的实际应用. （3）等比数列的综合应用. 2.须贯通：（1）证明等比数列的两种方法：定义法和等比中项法.（2）解 答数列实际应用问题的基本步骤：审题、建模、判型、求解、还原. 3.应注意：解决等比数列的综合问题应注意等差中项，等比中项的不同. 返回导航 28 $