4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

课后达标检测 1 1.设为等差数列的前项和，设甲：，乙： 是递减数列， 则( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：选A.若，则 ， 所以 是递减数列； 若是递减数列，则 ， 即 ， 但 不一定小于0.所以甲是乙的充分不必要条件. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.设等差数列的前项和是 ，若 ，则必定有( ) A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 解析：选A.依题意， ，所以 所以 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.古代数学著作《张丘建算经》中有一道“今有女善织，日益功疾”的题.若 第一天织布5尺（长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的 布，现1个月（按30天计）共织布390尺，则从第2天开始，每天比前一天 多织布( ) A.尺 B.尺 C.尺 D. 尺 解析：选D.设从第2天开始，每天比前一天多织布 尺，根据题意得 ，解得,所以每天比前一天多织布 尺. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.已知等差数列,的前项和分别为,,若,则 ( ) A. B. C. D. 解析：选C.由等差数列性质得 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.（多选）记为等差数列的前 项和，则( ) A.，，成等差数列 B.，， 成等差数列 C. D. 解析：选.易知，， 成等差数列，A正确； 由,, ,知 ，， 成等差数列，B正确； ,C错误； ,D正确. √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.（多选）设等差数列的前项和为，公差,若 ，则下 列结论中正确的有( ) A. B.当且仅当时， 取得最小值 C. D.当时， 的最小值为29 √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 解析：选.因为数列是等差数列，且 ，所以 ,即 ,故选项A正确； 因为,所以当时，,当时，,故当 或 时， 取得最小值，故选项B错误； ,故选项C正确； 因为 ，故选项D错误. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 7.在项数为 的等差数列中，所有奇数项的和为225，所有偶数项的和 为210，则 的值为____. 15 解析：因为等差数列有项，则 ， 所以 . 又 ， 所以,所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 8.已知等差数列的前项和为，且，则 ___. 6 解析：设等差数列的公差为 , 则 , 所以数列是公差为的等差数列，所以，解得 , 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 9.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心 石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环， 从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板.已知最内的3环共有54块 扇面形石板，最外的3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板 （不含天心石）_______块. 3 402 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 解析：依题意知由内向外每环扇面形石板的块数成等差数列，设为 ， 并记为的前项和，其中 ， ， 所以 ， 所以 , 所以 ， 故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石） 块. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 10.（13分）已知为等差数列的前项和，且 , . （1）求 的通项公式；（6分） 解：设等差数列的首项为,公差为 , 由题可知 解得 所以,即 的通项公 式为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 （2）求,并求 的最小值.（7分） 解：由（1）知, ,所以 , 对应的二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，所以当时， 取得最小值. 所以的最小值为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 11.已知等差数列的前项和为，公差， ，则 使得的最大整数 为( ) A.9 B.10 C.17 D.18 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 解析：选C.因为，所以, 异号， 因为，所以,，又有 ， 所以，即 ， 因为 ， ， 所以使得的最大整数 为17. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知等差数列的前项和为,若,,则 的取值范围是 ( ) A.， B.， C. ，， D. ，， √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 解析：选B.由题意可得 即可得 . 设等差数列的公差为,则 , 可得等差数列为递减数列，且 . 由可得 则 , 所以, . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 13.（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详 解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层 有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球， ，设第 层有个球，从上往下层球的总数为 ，则( ) A. B. C. D. √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 解析：选.由题意得，第层有个球，, , , , . 即，， ， ， 因为， ,所以 ，A正确； 因为,所以 ，B错误，C正确； ，D正确. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 14.（13分）已知等差数列的前三项为,4,,并记的前 项和 为 . （1）设，求和 的值；（6分） 解：由题知，,解得 , 所以,公差 , 因为，所以 , 即 , 解得或（舍去），所以, . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 （2）设,求 的值.（7分） 解：由（1）知，, , 又,,, ,仍是等差数列，且共有 项， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 15.（15分）7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以 后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天） 后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件. （1）问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？（7分） 解：设7月日售出的服装件数为,,最多时售出 件. 由题意知解得 所以7月13日该款服装销售最多，最多售出39件. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 （2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而 日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几 天？（8分） 解：设是数列的前 项和， 因为 所以,,令,得 , 当 时，日销售量连续下降， 令,得 , 所以该款服装从7月12号开始在社会上流行，到7月23号不再流行，共在社 会上流行11天. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 $