4.2.1 第3课时 等差数列的性质及应用-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦等差数列核心知识，涵盖性质、公差计算、实际应用及创新题型，从基础达标题（如一题两法求中间项和）到综合多选题（结合性质与二次函数），再到应用题（企业产量）和创新题（正方形筛子），搭建递进式学习支架，助力学生逐步深化理解。 其亮点在于融合数学思维与数学眼光，通过一题多解（第1题）、逻辑推理（第3题证差数列为常数列）培养推理能力，结合“中国剩余定理”等文化情境，引导学生用数学语言表达规律。学生能巩固基础并提升应用能力，教师可借分层题型高效检测教学效果。

课后达标检测 1 1.已知2,,,,18五个数成等差数列，则 ( ) A.15 B.20 C.30 D.35 解析：选C.方法一：由题意得,则 ，故 . 方法二：公差,则 ,故 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.已知数列，为等差数列，且公差分别为， ，则数 列 的公差为( ) A.7 B.5 C.3 D.1 解析：选D.由于，为等差数列，故等差数列的公差 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.已知，是两个等差数列，其中， ，且 ，那么 的值为( ) A. B.6 C.0 D.10 解析：选B.由于，都是等差数列，所以 也是等差数列，而 ，，所以是常数列，故 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.某企业经统计知，2024年7月份到12月份的月产量逐月增加，且各月的产 量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到 11月这四个月的产量之和为( ) A.48吨 B.54吨 C.60吨 D.66吨 解析：选C.设2024年月份的产量为 吨，由题意可 知，数列是等差数列，且, ,则8月到11月这四个月的 产量之和为 （吨）. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.（多选）已知等差数列满足,且 ， 则( ) A. B. C. D. 解析：选 .根据等差数列的性质，得 ，因为 ，所以 ,所以 .又，所以 , . √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.（多选）已知等差数列 的公差不为零，且 ，则( ) A. B.当且仅当时, 最大 C. D. 的最大值是156 解析：选.因为等差数列中， ，所以 ,即 ,A正确，C不能确定； ,又 ，所以当 或13时， 取得最大值156,B错误，D正确. √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7.各项都为正数的等差数列中,,则 ___. 8 解析：因为为各项都为正数的等差数列，又 ,所 以,即,所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 8.等差数列,满足对任意，都有,则 ___. 1 解析：由等差数列的性质可得, ,所 以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 9.一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身成等差数列，则这个正实 数是_____. 或 解析：设这个正实数的小数部分是，整数部分是 ， 自身是，则,所以, 由于, ,当时，,； 当时，，； 当 时，，不符合题意.综上所述，这个正实数是或 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 10.（13分）已知是等差数列，且， （1）求数列 的通项公式；（6分） 解：设等差数列的公差为 . 由题意得 解得 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 （2）若从数列中依次取出第2项，第4项，第6项， ，第 项，按 原来的顺序组成一个新数列，试求出数列 的通项公式．（7分） 解：由（1）可求出，，，， ， 即 . 当时， . 所以 是以4为首项，4为公差的等差数列． 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 11.1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，如 图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第7行第31列的数是( ) A.470 B.472 C.474 D.476 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 解析：选B.观察题图中“正方形筛子”给出的信息可知第1列是首项为4，公 差为3的等差数列，第行是公差为 的等差数列，由题图易知第7行的 第1个数是 ，即第7行是首项为22，公差为15的等差数列， 所以第7行第31列的数是 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 12.（多选）已知等差数列的首项,公差，在 中每相邻 两项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ，下列说法正确的有( ) A. B.当时， C.当时，不是数列 中的项 D.若是数列中的项，则 的值可能为6 √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 解析：选.由已知可得 ，故A正确； 当时，数列的公差,此时 ,故 B正确； 当时，,此时 ,令, 解得,即是数列中的项，故C错误； 当 时，,又,故D正确.故选 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.（多选）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.此定理讲的是关于整除的问 题，现将1到2 025这2 025个数中被2除余1且被5除余1的数按从小到大的 顺序排成一列，构成数列，其前项和为 ，则下列说法正确的是 ( ) A. B. C. D.数列 共有202项 √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 解析：选 .将1到2 025这2 025个数中被2除余1且被5除余1的数按从小到 大的顺序排成一列为1，11，21，31， ， ,该数列是以1为首项，10 为公差的等差数列，所以，所以 ，所以选项A正确； 又，所以选项B正确；又 , ,所以，所以选项C错误；令 ，得 ，，所以数列共有203项，所以选项D错误.故选 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 14.（13分） （1）已知三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求 这三个数；（6分） 解：设这三个数依次为,, , 依题意知 解得 所以这三个数为4,3,2. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 （2）已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40， 求这四个数.（7分） 解：设这四个数依次是,,, . 则由题可知 解得或 所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 15.（15分）已知数列,, ,，其中,， , 是首项为1，公差 为1的等差数列；,, ，是公差为的等差数列;, , ,是公差为 的等差数列. （1）若,求 ;（3分） 解：依题意得,当，时, , 所以,当, 时， , 所以 ,解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 （2）试写出关于的关系式，并求出 的取值范围；（5分） 解：由题知 , 故 , 当时，有最小值，最小值为,当 时， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 （3）续写已知数列，使得,, ,是公差为 的等差数列，依此 类推，把已知数列推广为无穷数列，请对这个数列作简单概述.（7分） 解：所给数列可推广为无穷数列，其中,, , 是首项为1，公差 为1的等差数列，当时，,, ,是公差为 的等差 数列. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 $