4.2.1 第3课时 等差数列的性质及应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦等差数列的性质及应用，通过正整数数列中奇偶项构成新等差数列的实例导入，以等差数列定义为支架，衔接项的运算性质、衍生新数列及灵活设元等核心知识点，构建完整知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，如通过思考推导项的关系培养数学思维，用例3中“a-d,a,a+d”设元法简化运算体现模型意识。知识梳理系统，例题解析对比通法与性质法，帮助学生用数学语言表达规律，提升运算与推理能力，教师可直接用于探究式教学，提高效率。

第四章 数列 4.2 等差数列 1 4.2.1 等差数列的概念 第3课时 等差数列的性质及应用 2 在学习等差数列过程中，我们发现了一个非常有意思的事情，比如说 ,这是一个正整数的数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4， 6，8，10， ，容易发现这是一个等差数列，同样，如果我们把其中的 奇数拿出来，即1，3，5，7，9， ，也能构成一个新的等差数列，今天 我们就具体研究等差数列中的性质. 返回导航 新课导入 3 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质简化运算. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 等差数列项的运算性质 思考1 已知,是等差数列 中的任意两项，你能利用通项公式建立 两者之间的关系吗？ 提示：设等差数列的公差为,由 , 两式相减得 ,即 . 返回导航 7 思考2 在等差数列中，如果 ，那么 与 有何数量关系？ 提示：设等差数列的公差为,则 , ,, ,所以 , ,因为 ,所以 . 返回导航 ［知识梳理］ 设等差数列的首项为,公差为 ,则 （1）_________,,，且 ; （2）若,则 ________; 特别地，若,则 ; （3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 ____，即 . 和 返回导航 9 ［例1］ （1）在等差数列中，若，,则 ( ) A. B. C.16 D.12 解析：方法一：设等差数列的公差为，由题意得 解 得所以 . 方法二：设等差数列的公差为 ， 则由题意得 ， 所以 . √ 返回导航 10 （2）在等差数列中，，则 ( ) A.20 B.18 C.16 D. 解析：因为,所以 ,解得 .因为,所以 . √ 返回导航 11 等差数列运算的两种常用思路 （1）根据已知条件，列出关于<m></m>,<m></m>的方程（组），确定<m></m>，<m></m>,然后求其 他量. （2）利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足 <m></m>，则<m></m>. 返回导航 12 ［跟踪训练1］ （1）在等差数列中，若，则 的值为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 √ 解析：选D.由已知，，则 , 所以 . 返回导航 13 （2）已知为等差数列，若,,则 ___. 8 解析：方法一：因为为等差数列，所以可设其公差为 ,则 , 所以 . 方法二：设等差数列的公差为.由 ,得 . 返回导航 14 二 由等差数列衍生的新数列 思考1 若为等差数列，则 是等差数列吗？ 提示：设的公差为,则 ,为常数，所 以数列 是等差数列. 返回导航 15 思考2 若数列是等差数列，公差为,则,,, 能组成新的等差 数列吗？ 由项,,， 组成的数列呢？ 提示：都能.因为数列 为等差数列，所以 ,所以,,, 能组成新的等差 数列.设,,， 组成的新数列为,, . 当时，.所以数列是以为首项， 为公差的等差数列. 返回导航 16 ［知识梳理］ 若,分别是公差为, 的等差数列，则有 （1）数列（, 是常数）是公差为 的等差数列. （2）数列（, 是常数）是公差为 的等差数列. （3）下标成等差数列的项,,， 组成以 为公差的等差数列. 特别地，所有的偶数项构成的数列 、所有的奇数项构成的数列 都是等差数列，公差都为 . 返回导航 17 ［例2］ （1）（多选）若 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列 的是( ) A. B. C.（，为常数） D. √ √ √ 返回导航 18 解析：对于A,数列 ,1,3是等差数列，取绝对值后，1,1,3不是等差数列， A不成立； 对于B,若是等差数列，利用等差数列的定义知， 为常数列， 故是等差数列，B成立； 对于C,若的公差为 ，则 为常数，故 是等 差数列，C成立； 对于D,若的公差为 ，则 为常数，故 是等差数列，D成立.故选 . 返回导航 19 （2）设数列，都是等差数列，若， ， 则 ____. 35 解析：因为数列， 都是等差数列， 所以数列 也构成等差数列， 所以 ， 所以，所以 . 返回导航 20 对于任何形式的构造数列，判断其是否为等差数列，一般从两个方面进行 判断： （1）定义： 是否为常数； （2）其通项公式是否为关于 的一次函数. 返回导航 21 ［跟踪训练2］ 由公差的等差数列,, , 组成一个新的数列 ,,， ，下列说法正确的是( ) A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为 的等差数列 C.新数列是公差为的等差数列 D.新数列是公差为 的等差数列 解析：选C.因为 ,所以 数列,,， 是公差为 的等差数列.故选C. √ 返回导航 22 应用点 灵活设元解决等差数列问题 ［例3］ 已知递增等差数列 的前三项之和为21，前三项之积为231， 求数列 的通项公式. 返回导航 23 【解】 由于数列为等差数列，因此可设前三项分别为， ， ， 于是可得 即 解得或 由于数列为递增数列，所以 故等差数列的首项为3，公差为4，其通项公式为 . 返回导航 24 等差数列设元技巧 （1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为 <m></m>,<m></m>,公差为<m></m>; （2）三个数成等差数列且知其和，常设此三个数为<m></m>,<m></m>,<m></m>，公差 为<m></m>； 返回导航 25 （3）四个数成等差数列且知其和，常设成,,, ,公 差为 . 注意（1）奇数个项的设元设法：若已知等差数列有 项，可设中间 一项为，公差为，则各项依次是,, ,, , , ,,.即以为对称中心，各项关于 对称 分布，即第项与第项关于对称，满足 . （2）偶数个项的设元设法：若已知等差数列有 项，可设中间两项为 和，公差为，则各项依次为 ，,, , , .即以中间两项和的平均数为对称中心，各项关于 对称分布，即第项与第项关于 对称，满足 . 返回导航 26 ［跟踪训练3］ 已知四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两 项的积为 ，求这四个数. 解：方法一：设这四个数为,,,（公差为 ）， 依题意,， ， 把代入 ， 得 ， 解得或 . 又四个数成递增等差数列，所以 ， 返回导航 27 所以， . 故所求的四个数为 ,0,2,4. 方法二：设这四个数为,,,（公差为 ）， 依题意,，，解得， , 又四个数成递增等差数列，所以 ， 所以，故所求的四个数为 ,0,2,4. 返回导航 拓视野 构造新等差数列的相关问题 等差数列中插入 个数得到新等差数列，然后求新数列的公差、通项公 式及求新数列中的项是原数列的第几项的问题，此处对其进行探讨及研究. 返回导航 29 ［典例］ 已知等差数列，1，4，7，10， ，现在在其每相邻两项之 间插入一个数，使之成为一个新的等差数列 . （1）求新数列 的通项公式； 【解】设原等差数列为，公差为,,,则 , 则 , 因为每相邻两项之间插入一个数，则数列的公差 ， 所以 . 返回导航 30 （2） 是原数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，请说明理由. 解：由题知数列的各项依次是数列的第1，3，5，7， 项，这些 下标构成一个首项为1，公差为2的等差数列 ， 则 . 令，解得 ， 所以 不是原数列中的项. 返回导航 31 设等差数列的公差为,在中每相邻两项之间都插入 个数， 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,设其公差为 ,则 ,,,, , 则数列的公差 , 则数列的通项公式为 . 等差数列中的项在新的等差数列 中间隔排列，且下标是以1为首 项，为公差的等差数列 , 所以的通项公式为 , 返回导航 32 设是数列的项，令 , 若解得,则是数列的第 项； 若解得，则不是数列 中的项. 返回导航 ［练习1］ 数列与 的所有公共项由小到大构成一个新的数列 ，则 ____. 56 解析：易知数列与 分别是以2，3为公差，2为首项的等差数列， 则新的数列 是以2为首项，6为公差的等差数列，所以 ,故 . 返回导航 34 ［练习2］ 已知等差数列的首项为，公差为 ，若以第2项为首项， 每隔两项取出一项组成一个新的数列 . （1）证明： 是等差数列,并求其公差； 解：由题意知，当时，，即数列 是等差数列， 公差为 . 返回导航 35 （2）为数列 的第几项? 解：由题意 ， 则 , 令，即 ， 即 ， 解得， , 即为数列的第 项. 返回导航 36 PART 02 课堂巩固 自测 37 1.在等差数列中，已知，，则公差 ( ) A.3 B. C.4 D. 解析：选B.由等差数列的性质得 ，所以 . √ 返回导航 38 2.（多选）若 是等差数列，则下列数列为等差数列的有( ) A. B. C. D. √ √ 返回导航 39 解析：选.设等差数列的公差为 . 对于A， ，所以是以 为公差的等差数列； 对于B， ， 因为不一定为常数，所以 不一定是等差数列； 对于C，因为 ， 因为不一定为常数，所以 不一定是等差数列； 对于D，因为，所以是以 为公差的等差数列. 返回导航 40 3.已知等差数列的公差为，且 ，若 ,则 ( ) A.12 B.8 C.6 D.4 解析：选B.由等差数列性质得 ,所以 ,又,所以 . √ 返回导航 41 4.已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为59，求这三个数 的积. 解：设这三个数分别为,, ，则 解得或 所以这三个数依次为,3,7或7,3,.所以这三个数的积为 . 返回导航 42 1.已学习：（1）等差数列项的运算性质. （2）由等差数列衍生的新数列. （3）灵活设元解决等差数列问题. 2.须贯通：灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整 体代换的思想. 3.应注意：运用性质而出错或解法烦琐. 返回导航 43 $