4.2.1 第2课时 等差数列的判定及实际应用-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件围绕等差数列核心知识，涵盖定义判断、通项公式、性质应用及实际问题，通过基础题（如公差计算）、综合题（如递推关系转化）和应用题（如购买方案优化），构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于以数学眼光抽象问题（如根号数列构造等差数列），用数学思维推理（如反例验证充要条件），借数学语言建模（如VR眼镜购买问题）。分层设计题目，解析详尽，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

课后达标检测 1 1.若数列满足，则数列 ( ) A.是公差为1的等差数列 B.是公差为 的等差数列 C.是公差为 的等差数列 D.不是等差数列 解析：选B.由,得,即 ，所 以数列是公差为 的等差数列. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.“”是“数列 为等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选C.设，则，， ， 所以，但数列 不是等差数列，故充分性不成立； 若数列 为等差数列，根据等差数列的性质可知， 成立，则必要性成立. 所以“”是“数列 为等差数列”的必要不充分条件.故选C. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.若数列为，，，， ，则 是这个数列的( ) A.第24项 B.第25项 C.第26项 D.第27项 解析：选C.设数列7，10，13，16， 为数列，则数列 是以7为首 项，3为公差的等差数列，其通项公式为 ，令 ，解得 .故选C. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.在数列中，,,则 ( ) A. B. C. D. 解析：选D.由取倒数得,所以 ,又 ,所以是以 为首项，3为公差的等差数列， 所以， 所以，所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.（多选）若为等差数列，, ,则下列说法正确的是 ( ) A. B.是数列 中的项 C.数列是递减数列 D.数列 的正数项有7项 解析：选.在等差数列中，设公差为，由, ，得 解得所以 ,易知数列 是递减数列，故A，C正确； 令,解得 ，故B错误； 由，解得，所以,,则数列 的正数项有7项， 故D正确.故选 . √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.（多选）下列命题正确的是( ) A.给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式 B.若等差数列的公差，则 是递增数列 C.若,,成等差数列，则,, 可能成等差数列 D.若数列是等差数列，则数列 不一定是等差数列 √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 解析：选 选项，给出数列的有限项不一定可以确定通项公式，故A不 正确； B选项，由等差数列性质知, 必是递增数列，故B正确； C选项，当时，，则，， 是等差数列，故C正 确； D选项，数列是等差数列，设公差为 ,所以 也是等差数 列，故D不正确. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.在数列中，若,,则 __________. 解析：由题意得, , 故数列{}是首项为，公差为 的等差数列，所以 ,故 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 8.已知,是等差数列图象上的两点，若是和 的等差 中项，则 的值为_____. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 解析：方法一：设等差数列的通项公式为 , 代入点的坐标，得解得 即 . 由于是和 的等差中项， 所以 . 方法二：由题意知，， 三点共线， 所以,所以 . 由于是和 的等差中项， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 9.黑、白两种颜色的正六边形地砖按 如图所示的规律拼成若干个图案，则 第 个图案中有白色地砖________块. 解析：观察题图可知第1个图案中有白色地砖6块， 第2个图案中有白色地砖10块， 第3个图案中有白色地砖14块， ， 后一个图案总比前一个图案多4块白色地砖，符合等差数列定义，首项 ,公差,故，所以第 个图案中有 白色地砖 块. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 10.（13分）某科技公司最新研发的 眼镜原售价为每台800元，在甲、乙 两商家均有销售.甲商家用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台 单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元， 但每台最低价不能低于440元；乙商家一律都按原价的 销售.某游乐园 需要购买一批此类眼镜，去哪个商家买花费较少？ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 解：设该游乐园需购眼镜 台，在甲商家购买每台售价不低于440元， 每台售价为元，则数列 为等差数列. ， 解不等式 ， 即，得 . 当购买台数不超过18台时，每台售价为 元， 当购买台数超过18台时，每台售价为440元. 到乙商家购买，每台售价为 （元）. . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， . 综上，当购买台数少于10台时到乙商家购买花费较少，当购买10台时到甲、 乙两商家购买花费相同，当购买台数多于10台时到甲商家购买花费较少. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知五种不同规格的旗帜的长,,,,（单位： ）成等差数列， 对应的宽为,,,,（单位: ），且对应长与宽之比都相等，已知 ,,,则 ( ) A.64 B.96 C.128 D.160 解析：选C.设等差数列,,,,的公差为.因为, , 由易得 ，所以 . 又且 ，所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知数列满足,若点在直线 上，则 ____. 解析：将点代入直线可得 ,即 ,所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故 ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 13.已知正项数列的前项和为，且和 满足： ,则数列的通项公式为 ________. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 解析：因为 ，① 所以 ，② 由得 ， 所以 ， 化简得 . 因为，所以 . 当时， ， 解得 ， 所以 是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 14.（13分）已知等差数列中，, . （1）求 的值；（6分） 解：因为,,所以 , 又,,所以 , 所以 . （2）若数列满足，证明：数列 是等差数列.（7分） 证明：由（1）可知 , 所以 . 因为,所以数列 是 等差数列. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 15.（15分）已知数列中，， ,数列 满足 . （1）求证：数列 是等差数列；（7分） 证明：因为且，,所以当 时， , 又.所以数列是以 为首项，1为公差的等差数列. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 （2）求数列 中的最大值和最小值，并说明理由.（8分） 解：由（1）知，,且,则 ， 设函数,易知在区间和 上单调递减. 又因为 ,所以当时，取得最小值； 当时, 取得最大值3. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 $