4.2.1 第2课时 等差数列的判定及实际应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦等差数列的函数特性、判定证明及实际应用，通过财务定投等生活实例导入，衔接已学等差数列概念，以“问题引导-新知探究-应用巩固”搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于用函数眼光揭示等差数列与一次函数的关系，通过定义法、等差中项法例题培养数学思维，结合海拔气温等实例抽象模型发展数学语言。小结系统梳理要点，学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助实例高效教学。

第四章 数列 4.2 等差数列 1 4.2.1 等差数列的概念 第2课时 等差数列的判定及实际应用 2 等差数列在工作与生活中有很多应用，如在财务领域中等差数列可以 用来计算定期存款、定投、定额本息还款等，另外等差数列在物流、工程、 地理、医学、教育等领域也有着广泛应用.但是，在日常应用中，我们又如 何确定所研究的问题是与等差数列有关的呢？ 返回导航 新课导入 3 1.体会等差数列与一元一次函数的关系. 2.掌握等差数列的判断与证明方法. 3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 等差数列的函数特性 思考 我们已经了解到数列是一种特殊的函数，根据等差数列的通项公式， 你认为它与哪一类函数有关？ 提示：一次函数.由于,所以当 时， 等差数列的第项是一次函数当 时的函数值， 即,点则是函数 图象上的均匀分布的 孤立的点，而是直线 的斜率. 返回导航 7 ［知识梳理］ 等差数列的通项公式与一次函数的关系 （1）若数列是等差数列，首项为,公差为 ,则 . ①点落在直线上，这条直线的斜率为___,在 轴 上的截距为_______. ②这些点的横坐标每增加1，函数值增加___. （2）的公差为,则 为______数列； 为______数列； 为常数列. 递增 递减 返回导航 8 ［例1］ 已知，是等差数列 的图象上的两点. （1）求数列 的通项公式； 【解】设等差数列的首项为，公差为 . 因为，是等差数列 的图象上的两点， 所以，，即 解得 因此 . 返回导航 9 （2）画出数列 的图象； 【解】等差数列的图象是均匀分布在直线 上的一系列离 散的点，如图所示. （3）判断数列 的单调性. 【解】因为公差，所以等差数列 为递减数列. 返回导航 10 等差数列的单调性 熟练掌握等差数列是关于<m></m>的一次函数这一结构特征，并且公差<m></m>是一 次项系数，它的符号决定了数列的单调性：<m></m>时，数列<m></m>为递增数 列，<m></m>时，数列<m></m>为常数列，<m></m>时，数列<m></m>为递减数列. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）（多选）下列判断正确的是( ) A.等差数列中，,,则数列 是递增数列 B.若,为常数，，则数列 是等差数列 C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时点所在直线的斜率 D.若数列是等差数列，且,则 解析：选项，因为 为等差数列，所以公差， 所以数列 是递减数列； 因为等差数列的通项公式是关于 的一次函数，公差是一次函数图象的 斜率，所以B,C,D均正确. √ √ √ 返回导航 12 （2）已知数列为等差数列，，,则 ____. 24 解析：已知数列是等差数列，可设 . 由,得 解得 所以 . 返回导航 13 二 等差数列的判定与证明 思考 若数列满足,能说明 是等差数列吗？若满足 , 呢？ 提示：由可得,只能说明,, 是等差数 列，不代表整个数列是等差数列，故不能说明 是等差数列. ,可以化为，考虑 的任意性， 说明为同一个常数，符合等差数列的定义，可以说明 是等差 数列. 返回导航 14 ［知识梳理］ 证明或判定等差数列的方法 （1）定义法:___或__________ . （2）等差中项法： . （3）通项公式法:（, 为常数）. 返回导航 15 ［例2］ 已知数列满足, . （1）求证：数列 是等差数列； 【解】证明：因为数列满足 , . 两边取倒数可得， ， 即 ， 所以数列是等差数列，首项为 ，公差为2. 返回导航 16 （2）求数列 的通项公式. 【解】由（1）可得， ， 解得 . 返回导航 17 （1）判定一个数列是否为等差数列可以用定义法（作差法）、等差中项 法及通项公式法，前两个较为严谨，可用于解答题，通项公式法一般适用 于选择、填空题. （2）要否定一个数列是等差数列，只要举出一个反例，即说明其中存在 连续三项不等差即可. 返回导航 18 ［跟踪训练2］ （1）已知数列满足 ，且 ,,则 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 解析：选C.由得 ,所以数列 为等差数列，设公差为，所以解得 所以 . √ 返回导航 19 （2）已知,若，证明为等差数列，并求 的通项公式. 解：由于 , 所以,又 ， 所以 是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以 . 所以 . 返回导航 20 应用点 等差数列的实际应用 ［例3］ （对接教材例3）在通常情况下，从海平面到 高空，海拔 每增加，气温就下降一固定数值.如果海拔高空的气温是 ， 海拔高空的气温是，那么海拔 高空的气温是多少？ 【解】 设海拔高空的气温为，则 成等差数列， 且，，设公差为 ， 由，得 ， 所以 ， 所以 ， 所以海拔高空的气温是 . 返回导航 21 解等差数列实际问题的基本步骤 返回导航 22 ［跟踪训练3］ 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年 起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照 这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起， 该公司经销这一产品将亏损？ 解：设第年的利润为万元，则, ， 所以每年的利润构成一个等差数列,设公差为 ，从而 . 若 ，则该公司经销这一产品将亏损. 所以由，得 ， 即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损. 返回导航 23 PART 02 课堂巩固 自测 24 1.已知在数列中，，，若，则 ( ) A.69 B.70 C.71 D.72 解析：选C.由题意可知，，所以数列 是公差为3的等差 数列，，得 .故选C. √ 返回导航 25 2.（多选）下列数列中是等差数列的有( ) A.,, B.2,4,6,8, ,, C.,,, D. √ √ √ 返回导航 26 解析：选.对于A选项，由于 ，故是等 差数列，故A正确； 对于B选项，2，4，6，8， ，，中， ，是 等差数列，故B正确； 对于C选项，因为， ，又 ，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，不是等差数列,故 C错误； 对于D选项，由 得 ，满足等差数列定义，故D正确.故选 . 返回导航 27 3.假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座 位.若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有____个座位. 37 解析：由题意可知，体育场该角看台的每排座位数成等差数列，设为 ， 公差为，则， . 由通项公式可得 解得 所以 . 故体育场该角看台的第12排有37个座位. 返回导航 28 4.已知数列是等差数列，若， . （1）求 的通项公式； 解：设等差数列的公差为， ， ，解得 , 所以， . （2）证明 是等差数列. 证明：因为, ， 所以是首项为0，公差为 的等差数列. 返回导航 29 1.已学习：（1）等差数列的函数特性. （2）等差数列的判定与证明. （3）等差数列的实际应用. 2.须贯通：（1）用函数的观点处理等差数列单调性问题，体现数形结合数 学思想. （2）证明等差数列的方法是定义法和等差中项法. 3.应注意：（1）在具体应用问题中项数不清. （2）忽略等差数列通项公式与函数关系中 的情况. 返回导航 30 $