4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

第四章 数列 4.2 等差数列 1 4.2.1 等差数列的概念 第1课时 等差数列的概念及通项公式 2 我国有用十二生肖纪年的习惯，例如：2025年是蛇年，从2025年开始， 蛇年的年份为2025，2037，2049，2061，2073，2085， .这些年份有什 么特点？ 返回导航 新课导入 3 1.理解等差数列、等差中项的概念. 2.掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题. 3.掌握等差数列的判断与证明方法. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 等差数列的概念 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. （1）我国确定鞋号的脚长以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大 到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40， ； （2）为增强学生体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班5名 男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10. 返回导航 7 思考 以上数列有什么共同特征？ 提示：对于（1），我们发现,， .该数列从 第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于（2）， ， ，有同样的取值规律（从第二项起，每一项与它的前一 项的差都等于同一个常数）. 返回导航 8 ［知识梳理］ 等差数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的________的差 都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个______ 叫做等差数列的公差，公差通常用字母___表示 符号 语言 为常数， 2 前一项 同一个常数 常数 返回导航 9 提醒 （1）定义中“从第2项起”的原因是第1项前面没有项，无法与后续条 件中“与前一项的差”相吻合； （2）定义中“每一项与它的前一项的差”强调了相邻两项且是后项减去前项； （3）定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数. 返回导航 10 ［例1］ 判断下列数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差. （1），1，，2， ； 【解】由等差数列的定义可知，数列，1，，2，是公差为 的等差数列. （2）4，2，0，， ； 【解】由等差数列的定义可知，数列4，2，0，，是公差为 的等 差数列. 返回导航 11 （3）2，4，5，6，7； 【解】由等差数列的定义可知，数列2，4，5，6，7不是等差数列. （4）1，，，2， . 解：由等差数列的定义可知，数列1，，，2， 不是等差数列. 返回导航 12 利用定义法判断等差数列，即从第2项起，检验每一项与它的前一项 的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是 等差数列. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ （多选）下列数列中是等差数列的有( ) A.，，， B.， ，0，1，2 C.5，8，11，14，16 D.2，2，2，2，2 解析：选选项中数列 ， ，不是等差数列； B选项中数列的公差为1，是等差数列； C选项中数列， ，不是等差数列； D选项中数列的公差为0，因此该数列是等差数列. √ √ 返回导航 14 二 等差中项 思考 若三个数,,满足,则,, 一定是等差数列吗？反之，是 不是也成立？ 提示：若,,满足 , 即,故,, 为等差数列. 反之，若,,成等差数列，则有 成立. 返回导航 15 ［知识梳理］ 提醒 （1）任意两个实数都有等差中项，且唯一. （2）等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即 . 返回导航 16 ［例2］ 已知是和的等差中项，则和 的 等差中项为____. 11 解析：因为是和 的等差中项，所以 ,解得,则, ,所 以和的等差中项为 . 返回导航 17 等差中项的应用策略 （1）求两个数<m></m>,<m></m>的等差中项<m></m>，即根据等差中项的定义得<m></m>; （2）证明三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项和的<m></m>即可，即若 <m></m>,<m></m>,<m></m>成等差数列，则有<m></m>;反之，若<m></m>,则<m></m>,<m></m>,<m></m>成等差数列. 返回导航 18 ［跟踪训练2］ （1）已知的三个内角，， 的度数成等差数列， 则 _____. 解析：因为的三个内角，，的度数成等差数列，则 ， 又，故，解得 . （2）已知和的等差中项是8，和的等差中项是10，则和 的等 差中项是___. 6 解析：由题意得 两式相加得 , 所以,所以 . 返回导航 19 三 等差数列的通项公式 思考 试根据等差数列定义中的递推关系： ,推导数 列 的通项公式. 返回导航 20 提示：方法一（累加法）因为 是等差数列， 所以当时， , , , … , 上述式子等号两边分别相加得 ,所以 . 返回导航 21 当 时，上式也成立. 所以 . 方法二（迭代法）因为 是等差数列， 所以 . 当 时，上式也成立. 所以 . 返回导航 ［知识梳理］ 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列 的通项公式为___________________. 提醒 已知首项和公差 ,便可写出通项公式. 返回导航 23 ［例3］ （对接教材例1）在等差数列 中， （1）已知,,求, ; 【解】在等差数列中，由,得， 解得 返回导航 24 （2）已知,,,求 ; 【解】由得 , 解得 . （3）已知,,求和 . 【解】由得,解得 , 所以 . 返回导航 25 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通 项公式，只需求出首项与公差即可. （2）等差数列<m></m>的通项公式<m></m>中共含有四个参数，即 <m></m>，<m></m>,<m></m>,<m></m>，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求 出第四个参数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. 返回导航 26 ［跟踪训练3］ （1）已知等差数列的前三项分别为, , ,则该数列的通项公式为( ) A. B. C. D. 解析：选C.设该等差数列的公差为,因为等差数列 的前三项分别为 ,, , 所以 , 解得 , 所以,,,则 , 所以 . √ 返回导航 27 （2）等差数列20，17，14，11， 中第一个负数项是____. 解析：因为, , 所以 , 令,得 , 所以数列中第一个负数项是第8项，即 . 返回导航 28 PART 02 课堂巩固 自测 29 1.（多选）下列数列中是等差数列的有( ) A.8，8，8，8 B.， ，0，1 C.1，2，4，6 D.1，1，2，3 解析：选 选项中的数列是常数列，是等差数列，公差为0； B选项中的数列是公差为1的等差数列； C选项中的数列的第3项与第2项的差为2，第2项与第1项的差为1，因此该 数列不是等差数列； D选项中的数列的第2项与第1项的差为0，从第3项开始，每一项与它的前 一项的差是1，因此该数列不是等差数列. √ √ 返回导航 30 2.已知,,则, 的等差中项为( ) A. B. C. D. 解析：选B.,的等差中项为 . √ 返回导航 31 3.已知在等差数列中，,,则 ( ) A.9 B.11 C.13 D.15 解析：选C.由题意知 解得所以 , 所以 . √ 返回导航 32 4.已知等差数列8，5，2， . 解：记该等差数列为，公差为 . （1）求该等差数列的通项公式； 由题意得，, , 所以 . 返回导航 33 （2）试问： 是不是该等差数列的项？若是，指明是第几项，若不是， 请说明理由. 解：由（1）知 , 令,得,故 是该等差数列的项，且为该数列 的第44项. 返回导航 34 1.已学习：（1）等差数列及等差中项的概念； （2）等差数列的通项公式. 2.须贯通：（1）利用累加法和迭代法推导等差数列通项公式； （2）应用等差数列的通项公式可以将,,, 四个元素互求，知三求一， 体现方程思想. 3.应注意：在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第2项”“每一 项与前一项的差”“同一个常数”. 返回导航 35 $