4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

第四章 数列 4.1 数列的概念 1 第2课时 数列的递推公式及前 项和 2 《算盘书》中有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月能生1对 小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对 小兔子.假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会 有多少对兔子？从第1个月开始，每月末的兔子总对数是1，1，2，3，5，8， 13，21，34，55，89，144，233， ，这就是著名的斐波那契数列. 返回导航 新课导入 3 1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种. 2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 3.会用与 的关系求通项公式. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 数列的递推公式 看下面例子： （1）1，2，4，8，16； （2）1，4，7，10，13; （3） 返回导航 7 思考1 请同学们分析一下（1）与（2），从第二项起，后一项与前一项有 怎样的关系？ 解：（1）提示： . （2）提示： . 思考2 请同学们分析一下（3）中图1至图4的规律，并依此规律，能写出 第个图形与第 个图形中小正方形的个数关系吗？ 提示： . 返回导航 8 ［知识梳理］ 如果一个数列的______两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那 么这个式子叫做这个数列的递推公式. 相邻 提醒 对数列递推公式的再理解：①与所有的数列不一定都有通项公式一 样，并不是所有的数列都有递推公式；②给出了数列的递推公式和首项 （或前几项），就可以求出数列中的任意一项. 返回导航 9 ［例1］ （对接教材例5） （1）已知数列的首项,且 ,则这个数列的第4项是 ( ) A. B. C. D.6 解析：由，得，， ， .故选B. （2）已知数列满足，且，则 __. 解析：由得，故 . √ 返回导航 10 由递推公式写出数列的项的方法 （1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关 系，依次代入计算即可. （2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项 的形式. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）已知数列满足,,则 ( ) A.17 B.18 C.19 D.20 解析：选C.由,,得 , , . （2）若数列满足，且，，则 ____. 32 解析：由题意得， ， ， ， . √ 返回导航 12 二 数列的前项和与 的关系 如果把数列的前项和记作 . 思考1 你能用表示 吗？ 提示：能， . 思考2 如何用表示, ? 提示： ， 返回导航 13 ［知识梳理］ 1.数列的前项和：把数列从第1项起到第 项止的各项之和，称 为数列的前项和，记作____，即 _________________. 2.数列的前项和公式：如果数列的前 项和____与它的_______ 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前 项和公式. 序号 3.与的关系： _ ________________. 返回导航 14 ［例2］ 设为数列的前项和，已知，求及 . 【解】 因为，所以当 时， ，当 时， . 经验证当时， 成立， 所以 . 返回导航 15 母题探究 本例中，若将条件“”变为“ ”， 求及 . 解：因为 ， 所以当时， ， 当时，，经验证当 时上式不成立， 所以 返回导航 16 由<m></m>求<m></m>的一般步骤 返回导航 17 ［跟踪训练2］ （1）记为数列的前项和，若 则 ( ) A.1 B.5 C.7 D.9 解析：选A.由题意知， . √ 返回导航 18 （2）已知数列满足,则 ___. 解析：已知 ,① 当时， ,② ,得,所以 . 当时，,满足上式.综上可知，的通项公式为 . 返回导航 19 应用点 由递推公式求通项公式 角度1 累加法求通项公式 ［例3］ 在数列中，,,则 ( ) A. B. C. D. √ 返回导航 20 解析：, , , , , … , 返回导航 21 以上各项相加得 . 所以 . 因为也符合上式，所以 . 返回导航 累加法在求通项公式中的应用 （1）适用条件：递推公式可转化为<m></m>，<m></m>,<m></m>是可 以求和的类型； （2）方法：令<m></m>到<m></m>,将得到的<m></m>个式子累加； （3）将未知项抵消即可得到数列<m></m>的通项公式. 返回导航 23 角度2 累乘法求通项公式 ［例4］ 已知数列满足，,则 __. 解析：由题意，因为数列满足,由 可得 ，所以 , 所以 . 因为也符合上式，所以 . 返回导航 24 累乘法在求通项公式中的应用 （1）适用条件：递推公式可转化为<m></m>,<m></m>是可以求积 的类型； （2）方法：令<m></m>到<m></m>,将得到的<m></m>个式子累乘； （3）将未知项抵消即可得到数列<m></m>的通项公式. 返回导航 25 ［跟踪训练3］ （1）已知数列满足 , ,则 _________. 返回导航 26 解析：方法一：因为 ,所以 . 所以当 时， . 又当时， 也符合上式， 所以 . 所以 . 返回导航 27 方法二：由 得 ,所以， . 返回导航 28 （2）已知数列满足,，求 . 解：因为 , 所以,即 . 所以 ， 又也符合上式，所以 . 返回导航 29 拓视野 数列的函数特性（周期性） 若数列满足存在一个最小的正整数，使得 对一切正整 数都成立，则数列为周期数列，其中叫做数列 的周期. 返回导航 30 ［典例］ （1）如下表，定义函数 1 2 3 4 5 4 5 1 2 3 在数列中，,,则 ___. 3 解析：由, , 可得, , , , , , 可得数列是周期为5的周期数列，则 . 返回导航 31 （2）已知数列满足, ，则 ________. 解析：由题可得， ， ，故数列 是以3为周期的周期数列，则 . 返回导航 32 对于周期数列，常通过求出一个周期内各项的值，进而求出数列中某 一项的值. 返回导航 33 ［练习］ 在数列中，,,则 ( ) A. B.1 C. D.2 解析：选D.因为, ,所以 , , , 所以数列 是以3为周期的周期数列， 所以 . √ 返回导航 34 PART 02 课堂巩固 自测 35 1.符合递推公式 的数列是( ) A.1，2，3，4， B.1，，2，， C.，2，，2， D.0，，2，， 解析：选项中相邻的两项，后一项是前一项的 倍，符合递推公式 . √ 返回导航 36 2.已知数列满足,,则 ( ) A.3 B.5 C.11 D.13 解析：选D.因为， ，所以 ， . √ 返回导航 37 3.已知,,则数列 的通项公式为 ( ) A. B. C. D. √ 返回导航 38 解析：选C.因为 , 所以 . 所以,,, , , 以上各式两边分别相加， 得 , 所以 . 当时，也适合上式，所以 . 返回导航 39 4.已知数列的前项和.求数列 的通项公式. 解：因为 当时， , 当时， , 因为也满足 . 综上， . 返回导航 40 1.已学习：（1）数列的递推公式； （2）由递推公式求通项公式； （3）由前 项和公式求通项公式. 2.须贯通：（1）由数列的递推公式求通项公式常用方法是累加法和累乘法； （2）由数列的前项和求通项公式，利用 求通项公 式. 3.应注意：（1）累加法、累乘法中要注意验证首项是否符合通项公式； （2）由求时易忽略验证 时的情况. 返回导航 41 $