4.1 第1课时 数列的概念与简单表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦数列的概念、分类、表示法及与函数的关系，以奥运会年份实例导入，通过观察具体数列引导学生归纳共同点，构建从具体到抽象的知识支架，衔接前后学习内容。 其亮点在于情境导入激发兴趣，结合实例归纳培养数学眼光中的抽象能力，例题与跟踪训练强化数学思维的逻辑推理，多种表示法助力数学语言表达。学生能深入理解数列本质，教师可高效开展教学。

第四章 数列 4.1 数列的概念 1 第1课时 数列的概念与简单表示 2 奥林匹克运动会每四年举办一次，北京在2008年举办奥运会，中国在 第23届（1984年）美国洛杉矶夏季奥运会上获得首枚金牌，从第23届起， 奥运会的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012， 2016, ,显然北京奥运会是第29届，这就是今天我们要学习的数列. 返回导航 新课导入 3 1.理解数列的有关概念与数列的表示法. 2.掌握数列通项公式的概念及应用. 3.理解数列与函数的关系. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 数列的有关概念 观察以下几列数： （1）全体正偶数按从小到大的顺序排成一列数：2，4，6，8，10， ； （2）当分别取1，2，3，4，5， 时，的值排成一列数： ， 1，，1，， ； （3）某公司职员2024年月工资，按月顺序排列为， ， ， ， . 思考 试分析上述例子中的共同点. 提示：上述例子中的3列数都有确定的顺序. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.数列的有关概念 数列 按照____________排列的一列数 项 数列中的每一个数 首项 数列的第1项 通项 数列中的第项 确定的顺序 2.数列的表示 （1）一般形式：,,, ,, ; （2）字母表示：上面数列通常记为_____. 返回导航 8 提醒 （1）概念中的“一列数”，即不止一个数；（2）数列中的数是有顺 序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列；（3）同一个数在一个数列 中可以重复出现，如1，1，1，1, ；（4）数列与是不同的， 表示数列：,,, ,, ,表示数列中的第 项. 返回导航 9 ［即时练］ 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）1，0，1，0是一个数列.( ) √ （2）数列1，3，5，7可表示为，3，5， .( ) × （3）数列中，若 ，则从第2项起，各项均不等于3.( ) × （4）数列4，7，3，4的首项是4.( ) √ 返回导航 10 2.下列各项表示数列的是( ) A. ， ， ， B.211，985，211，985，211，985， C.锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 D.,,, 解析：选B.数列是指按照确定的顺序排列的一列数，而不能是图形、文字、 向量等，只有B项符合.故选B. √ 返回导航 11 判断一组元素能否构成数列的依据 （1）各项是否为“数”. （2）各数能否按确定的顺序排成一列. 返回导航 12 二 数列的分类 思考 已知数列：（1）2,4,6,8,10, ； （2），1，，1，， ； （3）,,,, . 试分析这三个数列中的不同点. 提示：从项数上来看：（3）项数有限， 项数无限；从项的变化上 来看：（1）每一项在依次变大，（2）项的大小交替变化，（3）项没有 发生变化. 返回导航 13 ［知识梳理］ 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数______的数列 无穷数列 项数______的数列 按项的变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 常数列 各项都______的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项______它的前一项，有些项 ______它的前一项 有限 无限 大于 小于 相等 大于 小于 返回导航 14 ［例1］ 下列数列中，哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数 列？哪些是常数列？ （1），，，， ； （2）0，，， ，， ； （3）1,,， ，， ； （4）,,, ,…； （5）1,0,, , ,…； （6）9，9，9，9，9，9. 返回导航 15 【解】 根据数列的定义及各项的变化规律可知：有穷数列有 ；递 增数列有 ；递减数列有（3）；常数列有（6）. 返回导航 判断数列类型的策略 在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.是递增、 递减还是常数列，要从项的变化趋势来分析；是有穷还是无穷数列，要看 项的个数是有限个还是无限个. 返回导航 17 ［跟踪训练1］ 给出下列数列： ①1，2，，，， ， ； ②，，， ， ,…； ③1，2，3， ， ； ④，1，，1，，1， ； ⑤1，2，3，5，8，13，21， ； ⑥，，，， . 其中，______为有穷数列，__________ 为无穷数列，________为递增数列，____为递减数列，____为常数列. （填序号） ①③ ②④⑤⑥ ①③⑤ ② ⑥ 返回导航 18 解析：根据数列的分类，容易得到：①③为有穷数列，②④⑤⑥为无穷数 列，①③⑤为递增数列，②为递减数列，⑥为常数列. 返回导航 19 三 数列的表示 思考1 数列中项与序号 之间存在某种关系，试写出以下三个数列中项与 序号的关系. （1）2,4,6,8,10, ； 提示：, . （2），1，，1，， ； 提示：, . （3）,,,, . 提示：, . 返回导航 20 思考2 若以序号为自变量，以项 为函数值，可以将数列看作函数吗？ 提示：两者具有一一对应的关系，可以看作特殊的函数. 思考3 回顾函数的表示方法：列表法、图象法、解析法，数列可以用上面 的方法表示吗？ 提示：可以.数列是自变量取1，2，3， 时的离散函数. 返回导航 21 ［知识梳理］ 1.数列的通项公式 如果数列的第项 与它的_______之间的对应关系可以用一个式子来 表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 提醒 数列的通项公式可能有多个，也可能不存在. 序号 返回导航 22 2.数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 ____________（或它的有限子集，2，3， ， ） 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照________________________时，对 应的一列函数值构成 表示方法 （1）通项公式（解析法）；（2）________； （3）________ 正整数集 从小到大的顺序依次取值 列表法 图象法 返回导航 23 ［例2］ （对接教材例1）根据数列的通项公式，写出数列 的前5 项，并作出它们的图象. （1） ; 【解】数列 的前5项依次是1，3，1，3，1，图象如图①所示. 返回导航 24 （2） . 【解】数列的前5项依次为0，，，， ，图象如图②所示. 返回导航 25 （1）列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观， 但它只能表示有限个元素之间的对应关系. （2）图象法表示数列时，数列的图象是以 为坐标的一系列孤立的点. 返回导航 26 ［跟踪训练2］ 某种练习本单价5元，小王买了本 该练习 本.记为买本的总价，试用三种方法来表示数列 . 解：通项公式法： . 列表法： 1 2 3 4 5 5 10 15 20 25 返回导航 27 图象法： 返回导航 28 ［例3］ （对接教材例2）写出下列数列的一个通项公式： （1）9，99，999，， ； 【解】原数列各项加1后，变为10，100，，， ，记为数列 ，则数列的通项公式为,可得原数列 的一个通项公式 为 . 返回导航 29 （2）1，，5，，9， ； 【解】原数列各项的绝对值为1，3，5，7，9， ，是连续的正奇数，记 为数列,则数列的通项公式为 .原数列奇数项为正，偶 数项为负， 所以原数列的一个通项公式为 . 返回导航 30 （3）0，3，8，15，24， ； 【解】观察数列中的数，可以看到,, , ,, ,所以它的一个通项公式是 . （4），2，，8，， . 【解】将数列中的各项统一成分数，各项变为，，，，， ，所 以数列的一个通项公式为 . 返回导航 31 根据数列的前几项求其通项公式的方法 （1）先统一各项的结构，如都化成分数、根式等. （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应 序号间的函数解析式. （3）对于正负项交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用<m></m>或 <m></m>处理. （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周 期函数，如三角函数等. 返回导航 32 ［跟踪训练3］ 写出下列数列的一个通项公式： （1）2,4,8,16, ； 解：，，，， ，则数列 的一个通项公式为 . （2）6，66，666，，， ； 解：9，99，999，，， 的一个通项公式为 ， 则6，66，666，，， 的一个通项公式为 . 返回导航 33 （3），，，，， ； 解：数列各项的绝对值为，，，，， ，并且原数列奇 数项为负，偶数项为正，所以数列的一个通项公式为 . 返回导航 34 （4）4，0，4，0，4， . 解：方法一：因为数列的周期为2，设该数列的通项公式为 ， 联立 即解得 所以4，0，4，0,4, 的一个通项公式为 方法二：1，，1，，1，的一个通项公式为 ， 则4，0，4，0，4， 的一个通项公式为 . 返回导航 35 应用点 数列通项公式的简单应用 ［例4］ 已知数列的通项公式为 . （1）求这个数列的第4项； 【解】 . （2）150是不是这个数列的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明 理由. 【解】令，即 ， 即 ， 解得或 （舍去）， 故150是这个数列的项，是第16项. 返回导航 36 母题探究 在本例中，条件不变. （1）求该数列从第几项开始各项都是正数； 解：令,即，解得或 ， 因为 为正整数，所以从第7项开始各项都为正数. （2）求该数列的最小项是第几项，并求出最小项的值. 解：由（1）知,因为,所以当 或时， ,即该数列的最小项是第3项与第4项，且最小项 的值为 . 返回导航 37 求项或判断某数是否为数列中的项的方法 （1）如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就 可以写出数列中的指定项. （2）判断某数是否为数列中的项，只需将此数代入数列的通项公式中， 求出<m></m>的值.若求出的<m></m>为正整数，则该数是数列中的项，否则该数不是数 列中的项. 返回导航 38 ［跟踪训练4］ 已知数列的通项公式为 . （1）计算 的值； 解：在数列中，, , 所以 . 返回导航 39 （2） 是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，请说明理由. 解：若为数列中的项，则 , 即,整理得,而,解得 , 所以是数列 中的项，且是第10项. 返回导航 40 拓视野 数列的函数特性（单调性） 数列是一类特殊的函数——数列可以看作是定义在正整数集 （或其有限子集，2，3， ， ）上的函数当自变量按从小到大的顺 序依次取值时所对应的一列函数值.数列的通项公式（若存在）体现了数列 的项与其项数之间的对应关系，实质就是一个函数解析式，定义域为正整 数集（或其有限子集）. 返回导航 41 ［典例1］ 已知数列满足,证明：数列 是递减数列. 【证明】 方法一（作商比较法）因为 恒成立且，所以，，所以数列 是递减数列. 方法二（作差比较法） 因为 恒成立，即 ， ，所以数列 是递减数列. 返回导航 42 解决数列单调性问题的两种方法 （1）作差比较法：根据<m></m>的符号判断数列<m></m>是递增数列、递减 数列或常数列； （2）作商比较法：根据<m></m>或<m></m>与1的大小关系进行判断. 返回导航 43 ［典例2］ 已知数列的通项公式为,若数列 为递增数 列，则 的取值范围是__________. 解析：方法一（作差法）由数列 为递增数列，知 恒成立， 即 恒成立. 又,所以,故的取值范围是 . 方法二（函数性质法） , 由于,且数列 为递增数列，结合二次函数的图象可得对称轴 必须位于与的中点左侧，即,解得,故 的 取值范围是 . 返回导航 44 已知数列为递增（减）数列，等价于对任意的 都有 成立，从而转化为关于参数的不等式，解不等式， 即可求出参数的取值范围. 返回导航 45 ［练习1］ 已知数列满足,且,则数列 是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析：选B.因为,,所以，故数列 为递减数 列. √ 返回导航 46 ［练习2］ （多选）若数列满足 ,则( ) A.数列的最大项为 B.数列的最大项为 C.数列的最小项为 D.数列的最小项为 √ √ 返回导航 47 解析：选.因为 , 所以 , 由,得到,又 , 则,所以 ； 由，得或 ， 解得或，且 . 令,即时， , 令,即时， , 所以 ， 所以数列的最大项为,最小项为 . 返回导航 48 PART 02 课堂巩固 自测 49 1.下列说法中，正确的是( ) A.数列2，4，6，8可表示为集合，4，6， B.数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是相同的数列 C.数列的第项为 D.数列0,1,2,3,4, 可记为 解析：选C.对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列中项的排列顺序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列 的第项为,故C正确； 对于D，数列0，1，2，3，4， 应记为 ,故D错误.故选C. √ 返回导航 50 2.35是数列3，5，7，9， 的( ) A.第16项 B.第17项 C.第18项 D.第19项 解析：选B.数列3，5，7，9， 的通项公式为 ，由 ，得，所以35是数列3，5，7，9， 的第17项.故选B. √ 返回导航 51 3.若数列的通项公式为 ,则关于此数列的图象叙述正确的 是( ) A.此数列不能用图象表示 B.此数列的图象仅在第一象限 C.此数列的图象为直线 D.此数列的图象为直线上满足 的一系列孤立的点 √ 返回导航 52 解析：选D.数列的通项公式为 , 它的图象就是直线上满足 的一系列孤立的点，所以A，C 错误，D正确. 当时， ,该点在第四象限， 当且时， ,此时数列图象在第一象限，所以B错误. 返回导航 53 4.根据数列的通项公式，写出数列的前5项及第 项. （1） ； 解：在通项公式中依次取 ，2，3，4，5，得到数列的前5项分别为 ，0，，， ； 用代替通项公式中的，得到数列的第项是 ,即 . 返回导航 54 （2） . 解：依次取，2，3，4，5，得到数列的前5项分别为，1， ， 0，；用代替通项公式中的，得到数列的第 项 是，即 . 返回导航 55 1.已学习：数列的概念与分类、数列的通项公式及简单应用、数列与函数 的关系. 2.须贯通：（1）要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，主要靠观察 （观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、 联想（联想常见的数列）等方法求解; （2）数列的通项公式给出了第项与它的序号 之间的关系. 返回导航 56 3.应注意：（1）并非所有的数列都能写出它的通项公式;（2）并非所有数 列的通项公式都唯一.如,,1,,1, ,既可以写成 ，也可以写 成 返回导航 57 $