3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

课后达标检测 1 1.已知抛物线的焦点在 轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一 点满足，则抛物线 的方程为( ) A. B. C. D. 解析：选D.由题意设抛物线的方程为 ，因为 ，所以，所以抛物线的方程为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线交 轴 于点，且，则点到准线 的距离为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 解析：选D.由抛物线，可知，准线的方程为 ，设 ,，因为，所以 ，所以 ，由抛物线定义知，点到准线的距离为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.设为抛物线的焦点，，， 为抛物线上的三个点，若 ，则 ( ) A.6 B.4 C.3 D. 解析：选C.由题意得焦点, ， 设点，， ， 则 ， 所以 ，所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.设为抛物线的焦点，点为上一点，过作 轴的垂 线，垂足为，若，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选D.因为为抛物线 的焦点，所以 ，焦点的坐标为 ，由抛物线定义可知 ，又 ，所以 ，解得，故 ，所以 , 为原点，从而 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.已知抛物线的焦点为，为上的一点且在第一象限，以 为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，， 三点共线，则 ( ) A.16 B.12 C.10 D.8 解析：选B.因为，，三点共线，所以为圆 的直 径，.由抛物线定义知 ， 所以 .因为点 到准线的距离为6，所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.（多选）已知以 轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的 弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为( ) A. B. C. D. 解析：选.由题意，若，则焦点为,，故当 时， ，所以，即， ； 若，则焦点为, ， 故当时，，所以 ， 即，.综上， . √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7.抛物线 的顶点坐标为______. 解析：抛物线 ， 即，顶点坐标为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 8.已知抛物线上的动点 到焦点的距离的最小值为2，则 ___. 4 解析：抛物线的准线方程为 ， 设，显然 ， 当且仅当 时取等号， 则点到焦点的距离 ， 当且仅当时取等号，因此，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 9.设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线 的倾斜角为，则 ___. 4 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 解析：如图所示，过点作垂直准线于点 ，过焦 点作垂直于点，由题意可知， , ，根据抛物线的定义 ， 在中， ，又 ， 所以 ， 解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.（13分）已知为抛物线上的一个动点，为 的焦点. （1）当时，求点 的坐标；（6分） 解：由得 ， 设，由得，解得，当 时， ，所以点的坐标为或 . （2）若点的坐标为，求 的最小值.（7分） 解：设，则， ， 则 ， 当时，取得最小值，且最小值为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于， 两点， 点在第一象限，点为坐标原点，且，则直线 的斜率为 ( ) A. B. C.1 D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 解析：选A.如图，设直线的倾斜角为 ，抛物线的准 线，作于点 ， 根据抛物线的定义， , 所以，同理 . 由知 ， 即，故 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 12.（多选）已知抛物线的焦点为，为 轴上一点， 且，线段与抛物线相交于点， ，则下列结论正确的 有( ) A.直线的方程为 B.以线段为直径的圆与 轴相切 C. D. √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 解析：选.抛物线的焦点, ，准线 ， ，如图， 因为，所以为线段 的中点， ，过作准线的垂线，垂足为 ， 与轴交于点，则 ，由抛物 线的定义可知， ，得 ，故C正确； 在中，，得 ，故 D错误； 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ， 则直线的斜率为 ， 所以直线的方程为，即 或 ，故A错误； 取线段中点，过作轴于点 ，则 ，所以，即线段 的中点到轴的距离等于，则以线段为直径的圆与 轴相切，故B 正确. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 13.（13分）已知顶点为的抛物线过点 ，其焦 点为，若 . （1）求点 的坐标以及抛物线方程；（6分） 解：因为抛物线过点，则 ，① 又 ， 且焦点为,，即 ，② 结合①②解得,或, ， 即,或, . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 （2）若点与关于点对称，求 .（7分） 解：当, 时， 此时，则 ， 所以 ； 当,时， ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 则 ，所以 . 综上，或 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 14.（15分）已知椭圆和抛物线的焦点均在轴上，的中心和 的顶 点均为坐标原点，从， 上分别取两个点，坐标如表所示： 1 2 2 0 （1）求和 的标准方程；（7分） 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 解：设抛物线的标准方程为 ， 当时， ， 结合题表数据，因为 ， 所以点,在抛物线上，且，解得 ， 所以抛物线的标准方程为 . 将点,,代入椭圆的标准方程 中， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 得解得 所以椭圆的标准方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）若和交于不同的两点，，求 的值.（8分） 解：根据对称性，可设,两点坐标分别为, ， 联立消得 ， 解得， ， 因为，所以 . 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 15.（2025·邯郸期末）已知抛物线的焦点为，准线为 ，过焦 点的直线与交于点，为上一动点，则 周长的最小值 为___________. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 解析：设准线交轴于点，由题知焦点 ， ，，所以，记点 关 于直线的对称点为，则 ， 则当，， 三点共线时， ，故 的最小值为 ，即 周长的最小值为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 $