3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 1 生活中不乏以抛物线为原型的例子，太阳灶、石拱 桥、抛物线型灯具等.除了美观外,主要也是借用了抛物线 的一些性质，比如抛物线型石拱桥利用了其跨距大的特 点等等.如前面学习椭圆、双曲线一样,下面我们来研究一下抛物线的一些 几何性质. 返回导航 新课导入 2 1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 3.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题. 4.会求解与抛物线有关的轨迹问题. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 抛物线的简单几何性质 思考1 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研 究抛物线的哪些几何性质? 提示：范围、对称性、顶点及离心率等. 思考2 抛物线与椭圆、双曲线比较有什么明显的区别？ 提示：抛物线没有对称中心，只有一条对称轴，不是封闭图形. 返回导航 6 ［知识梳理］ 标准方 程 图形 _________________________ ___________________________ __________________________ __________________________ 范围 , , , , 焦点 ①_ _____ ②________ ③______ ④________ , , , , 返回导航 7 标准方 程 准线方 程 ⑤_ _______ ⑥______ ⑦________ ⑧______ 对称轴 ⑨_____ ⑩_____ 顶点 ⑪______ 离心率 ⑫___ 轴 轴 1 续表 返回导航 8 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形.( ) × （2）抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上.( ) √ （3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ) √ （4）抛物线上任意一点的横坐标的取值范围是 .( ) × 返回导航 9 2.（多选）已知抛物线与抛物线关于 轴对称，则下列说法正确 的是( ) A.抛物线的焦点坐标是 B.抛物线关于 轴对称 C.抛物线的准线方程为 D.抛物线 的焦点到准线的距离为4 解析：选.因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线 的 方程为，则抛物线的焦点坐标是，准线方程为 ，故 A，C正确； 抛物线关于 轴对称，故B错误； 抛物线 的焦点到准线的距离为2，故D错误. √ √ 返回导航 10 3.已知等腰梯形的四个顶点在抛物线 上，且 ，则原点到的距离与原点到 的距离之比为_____. 解析：由抛物线的对称性可知，且 轴， 设,，,，则，可知 ，所以 原点到的距离与原点到的距离之比为 . 返回导航 11 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 （1）开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是<m></m>还是 <m></m>，一次项的系数是正还是负. （2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. （3）定值：焦点到准线的距离为<m></m>；过焦点且垂直于对称轴的弦 （又称为通径）长为<m></m>；离心率恒等于1. 返回导航 12 二 由抛物线的几何性质求标准方程 ［例1］ （对接教材例3）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴上，抛物 线上一点到焦点的距离为5，求 的值、抛物线方程和准线方程. 返回导航 13 【解】 根据题意可确定所求抛物线的开口方向向下. 方法一：设所求抛物线方程为,则焦点为, . 因为点 在抛物线上， 且 , 故 解得故,抛物线方程为,准线方程为 . 返回导航 14 方法二：如图所示，设抛物线方程为 ， 则焦点为,,准线，作,垂足为 ，则 ,由,解得 .故抛物线 方程为,准线方程为.又点在抛物线上，所以 ,解得 . 返回导航 15 由抛物线的几何性质求其标准方程，要先确定抛物线的焦点的位置， 不同的焦点设不同的方程，再利用已知的几何性质求参数，此处仍然使用 待定系数法求解. 返回导航 ［跟踪训练1］ （1）顶点在原点，关于轴对称，并且经过点 的 抛物线方程为( ) A. B. C. D. 解析：选C.依题意，设抛物线方程为，将 代入得 ，则，所以所求抛物线方程为 . √ 返回导航 17 （2）已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线 的渐近线相交于，两点，若的周长为 ，则抛物线方程为 ________. 返回导航 18 解析：由题意得,，准线方程为, 的渐近线方程为，在中，令 得 ， 故 ，由勾股定理得 ， 故的周长为 ， 解得，故抛物线方程为 . 返回导航 19 三 抛物线性质的应用 ［例2］ （1）已知为坐标原点，，是抛物线 上的不 同两点，点是抛物线的焦点，且的重心恰为，若 ，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 返回导航 20 解析：易知,，设, , 因为的重心恰为 ， 则解得 由可知点,关于轴对称，即，则 ， 即，又因为，解得 . 返回导航 （2）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线 的焦点， 若，则 的面积为____. 解析：设，由，可得，所以 ， 则，即，所以的面积为 . 返回导航 22 母题探究 本例（2）条件“”改为“ 的面积为2”，则 ___. 5 解析：由已知得抛物线的焦点为，设 ，则 ，所以，则，解得 ，于是 . 返回导航 23 利用抛物线的性质可以解决的问题 （1）对称性：解决抛物线的内接三角形问题. （2）焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. （3）范围：解决与抛物线有关的最值问题. （4）焦点弦：解决焦点弦问题. 返回导航 24 ［跟踪训练2］ （1）设抛物线的焦点为，过的直线 与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线 的斜 率为( ) A. B. C. D. √ 返回导航 25 解析：选C.因为,所以为的中点，过点 作 垂直于轴于点,所以为 的中位线，则 ,所以的坐标为,，而,，则直线 的斜率 . 返回导航 26 （2）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 上，则这个等边三角形的边长为___. 6 返回导航 27 解析：由题意可知等边三角形的一个顶点位于原 点，另外两个在抛物线上的顶点关于 轴 对称，如图所示. 设等边三角形边长为，则 点的横坐标为 ， 点的纵坐标为 ,则,，代入 得 ，解得（ 舍去），故 等边三角形的边长为6. 返回导航 拓视野 圆锥曲线的第二定义 人教A版选择性必修第一册例6、、例5、 四个地 方分别以例题及课后习题的形式呈现了圆锥曲线的第二定义. 圆锥曲线的第二定义也是圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点 和 到一条定直线（不在上）的距离之比等于常数的点的轨迹.当 时, 它表示椭圆；当时, 它表示双曲线；当 时, 它表示抛物线,这 里为离心率,为焦点, 为准线.注意：必须是点到焦点的距离与点到相应准 线的距离的比.（椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在 轴上的椭圆或双曲线，与焦点, 对应的准线方程分别为 , ） 返回导航 29 圆锥曲线的第二定义是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥 曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在 很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能. ［典例］ （1）点在椭圆上,它到左焦点 的距离是它到右焦 点距离的两倍,则点 的横坐标是___. 返回导航 30 解析：由题可知，，， ， 所以 . 设，因为，设到椭圆左准线的距离为， 到椭 圆右准线的距离为，由椭圆第二定义可知， ， 所以，，易得 ， 又因为两条准线间的距离，所以 ， 所以，解得 . 返回导航 31 （2）已知点，,点在双曲线上，当 最小时，点 的坐标为_ ______. , 解析：因为,,所以,所以 . 设点到与焦点相应的准线的距离为,则,所以 ，所 以,该问题就转化为在双曲线上求点,使点 到定点 的距离与到准线的距离和最小,即直线垂直于准线时符合题意,所以点 的坐标为, . 返回导航 32 圆锥曲线第二定义的关注点 （1）利用第二定义，结合表达式的几何意义,可判断一些定点的轨迹; （2）利用第二定义，可将曲线上一动点到焦点的距离转化为到准线的距离; （3）椭圆和双曲线都有两个焦点、两条准线，注意左焦点和左准线相对 应，右焦点和右准线相对应，但抛物线只有一个焦点与一条准线. 返回导航 33 ［练习1］ 已知点是双曲线上的动点，， 分 别是其左、右焦点，为坐标原点，若的最大值是 ，则此双曲 线的离心率是( ) A. B. C. D.2 √ 返回导航 34 解析：选B.不妨设为双曲线右支上的一点，其中 ，则 ,， ，所以 ，所以当 时，上式取得最大值， 即,所以 . 返回导航 35 ［练习2］ 定长为3的线段的两端点在抛物线上移动,设点 为线 段的中点,则点到 轴的最小距离为__. 返回导航 36 解析：如图，抛物线焦点,,准线,设点， ， 在准线上的射影分别是，，,设点 ,则 , ,又 , ,所以,所以,即的最小值是.所以点到 轴的最 小距离是,当且仅当过点 时取得最小值. 返回导航 PART 02 课堂巩固 自测 38 1.（教材PT改编）已知抛物线 ，焦点到顶点的距离为 1，则该拋物线的准线方程为( ) A. B. C. D. 解析：选D.因为抛物线焦点到顶点的距离为1，所以，解得 ，所 以拋物线的准线方程为 . √ 返回导航 39 2.（多选）若抛物线上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离，则 点 的坐标可以为( ) A., B., C., D., 解析：选.设抛物线的焦点为，则, ， 依题意可知 ， 所以 ， 则, . 所以点的坐标可以为,，, . √ √ 返回导航 40 3.（教材P练习T 改编）已知顶点在原点的抛物线，其焦点关于准线的 对称点坐标为 ，则抛物线的标准方程为________. 解析：由题意可得抛物线开口向右，设其方程为 ，则焦点 坐标为,，准线方程为 ，因为焦点关于准线的对称点坐标为 ，所以，解得，故抛物线的标准方程为 . 返回导航 41 4.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线 上. （1）求该抛物线的方程； 解：在中，令，得，又因为抛物线的对称轴为 轴，所以焦点坐标为，故设抛物线方程为，故 ， 解得，故抛物线方程为 . （2）若该抛物线上的点的横坐标为2，求点 到该抛物线焦点的距离. 【解】设点到该抛物线焦点的距离为 ，由抛物线的定义可知 . 返回导航 42 1.已学习：抛物线的几何性质及其应用. 2.须贯通：研究抛物线的几何性质应明确抛物线的开口方向，理解 的几何 意义体现了数形结合的思想方法. 3.应注意：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误. 返回导航 43 $