2.2.3 直线的一般式方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

2.2.3 直线的一般式方程 1 观察下列4条直线的方程：; ; ; ,会发现它们表示同一条直线，那么它们有没有 统一的形式呢？这就是我们要学习的直线的一般式方程. 返回导航 新课导入 2 1.掌握直线的一般式方程. 2.理解关于，的二元一次方程（， 不同时为0）都表 示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 直线的一般式方程 思考1 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于， 的二元一 次方程表示吗? 提示：可以.当直线斜率存在时，点斜式方程 可视为二 元一次方程；当斜率不存在时,也可以认为是 的系数为0的二元 一次方程. 思考2 任意一个关于， 的二元一次方程都可以表示一条直线吗? 提示：可以.任意一个二元一次方程, 不同时为0），当 时，;当时， 均表示直线. 返回导航 6 ［知识梳理］ 1.定义 关于，的二元一次方程_________________（其中， 不同时为0）叫 做直线的一般式方程，简称一般式. 返回导航 7 2.直线方程的一般式与其他形式的互化 返回导航 8 ［例1］ （对接教材例5）根据下列条件分别写出直线的一般式方程. （1）斜率为，且经过点 ； 【解】由点斜式，可得 ，则直线的一般式方程为 . （2）过点，且垂直于 轴； 【解】因为直线垂直于轴，且过点 ，则直线的一般式方程为 . 返回导航 9 （3）斜率是4，在轴上截距为 ； 【解】由斜截式，可得，则直线的一般式方程为 . （4）在轴、轴上的截距分别为， . 【解】由截距式，可得，则直线的一般式方程为. 返回导航 10 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定 条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）（多选）下列说法中，正确的有( ) A.直线在轴上的截距是 B.直线 经过第一、二、三象限 C.过点且在轴、轴上的截距互为相反数的直线方程为 D.过点，且倾斜角为 的直线方程为 √ √ 返回导航 12 解析：选.对于A，令，得，则直线在 轴上的 截距为2，故A错误； 对于B，直线的斜率为2，在 轴上的截距为5，易知直线 经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，当直线截距均为0时，直线经过原点，设，代入点 ， 得，此时直线方程为 ；当直线截距不为0时，设方程为 ，代入点，得，此时直线方程为 ，故 C错误； 对于D，倾斜角为 的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为 的直线方程为 ，故D正确. 返回导航 13 （2）已知直线倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线 的一般式 方程为______________. 解析：设直线的倾斜角为 ，,由题意知 ，则 ，所以斜率 ，又直线过点 ，所以直线的方程为，即直线 的一般式方程为 . 返回导航 14 二 利用直线的一般式方程解决平行、垂直问题 角度1 由平行、垂直求直线方程 ［例2］ 求满足下列条件的直线 的方程： （1）直线过点，且与直线 平行； 【解】方法一：由直线与直线平行，可得的斜率 . 又过点，由点斜式可得，即 . 方法二：由与直线平行，可设 的方程为 ， 将点代入上式得，所以所求直线的方程为 . 返回导航 15 （2）直线过点，且与直线 垂直. 【解】方法一：由直线的斜率为，直线 与直线 垂直，可得直线的斜率，又过点 ，由点斜式 可得，即 . 方法二：由与直线垂直，可设的方程为 ， 将点代入上式得，所以所求直线的方程为 . 返回导航 16 与已知直线平行（垂直）的直线方程的两种求法 （1）先求出已知直线的斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关 系确定所求直线的斜率，由点斜式求出直线方程. （2）利用待定系数法（直线系）求直线方程. 常用结论 （1）与直线<m></m>平行的直线方程可设为 <m></m>. （2）与直线<m></m>垂直的直线方程可设为<m></m>. 返回导航 17 角度2 由直线的平行、垂直求参数值 ［例3］ 已知, 为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线 ，， . （1）若，且经过点，求实数， 的值； 【解】因为，,且 ，所以 ，又直线过点，所以 ，所以 ，所以 ， 所以或 返回导航 18 （2）若且，求实数， 的值. 【解】若且 ， 则解得或 由于，不能同时为0，故 返回导航 19 （1）平行问题：①如果直线的斜率存在，可将一般式化成斜截式进行判 断；②如果一般式中 的系数含参数，需根据系数是否为0分类讨论； ，且（或 ）. （2）垂直问题：①如果直线的斜率存在且不为0，那么 ； . 返回导航 20 ［跟踪训练2］ （1）（2025·淄博期中）已知直线 和直 线，则“ ”是“两直线平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A.若直线和直线 平行， 则解得或，因此，“ ”是“两直线平行”的 充分不必要条件. √ 返回导航 21 （2）（2025·宿迁期中）已知点，直线 . ①求过点且与直线 平行的直线的方程； 解：设所求直线方程为，将点 的坐标代入得 ，所以 ， 所以所求直线方程为 . ②若点在直线上，且，求点 的坐标. 【解】因为点在直线 上， 设点，因为，且直线的斜率为 ，故 ，解得，所以点的坐标为 . 返回导航 22 三 含参数的直线一般式方程的应用 ［例4］ 已知直线 . （1）求证直线 恒过定点，并求出该定点坐标； 【解】方法一：由 ， 得 . 令得故直线恒过定点 . 方法二：由，得 ，表示 过点的点斜式方程，即直线恒过定点 . 返回导航 23 （2）为使直线不经过第二象限，求 的取值范围. 【解】设，则直线的斜率为.如图所示，要使 不经过 第二象限，需斜率，所以的取值范围为 . 返回导航 24 母题探究 是否存在实数，使得直线与轴和 轴的正半轴都相交？若存 在，求出 的取值范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值； 若不存在，请说明理由. 解：存在实数.由本例（1）知，直线 恒过第一象限 的点 ， 设直线与轴和轴分别交于， 两点， 则,， ,由题意，得 返回导航 25 解得，所以存在实数 ,使得直 线与轴和 轴的正半轴都相交. . 因为 ，所以 ,当 ，即时， 的面积取得最小值8. 返回导航 含参直线方程的研究策略 （1）若方程<m></m>表示直线，则需满足<m></m>，<m></m>不同时为0. （2）令<m></m>可得在<m></m>轴上的截距，令<m></m>可得在<m></m>轴上的截距，若确定 直线斜率存在，可将一般式化为斜截式. （3）解分式方程要注意验根. 返回导航 27 ［跟踪训练3］ 已知过定点的直线分别交 轴、 轴的正半轴于点，， 为坐标原点. （1）若是线段的中点，求实数 的值； 解：由题易得直线过定点，又为的中点，故 ，故 . 返回导航 28 （2）求 的最小值. 【解】设，，其中，，则直线 的方程可写成 ， 将代入得， ，故 ，当且仅当 ，即，时取等号，故 的最小值 为 . 返回导航 29 PART 02 课堂巩固 自测 30 1.（教材（3）改编）过点且垂直于直线 的直线方 程为( ) A. B. C. D. 解析：选C.若直线与垂直，则其斜率为 ，又该 直线过点，根据点斜式有，整理得 . √ 返回导航 31 2.（多选）（教材PT改编）已知直线 ，则下列说法正确 的是( ) A.直线过点 B.直线的斜率为 C.直线在轴上的截距为 D.直线在轴上的截距为 解析：选.对于A，因为，即直线不过点 ， 所以A不正确；对于B，D，由，得到 ，所以直 线斜率为，在轴上的截距为 ，所以B，D正确；对于C，由直线 ，令，得到 ，所以C不正确. √ √ 返回导航 32 3.已知直线，，若 ，则 实数 ___. 3 解析：由，易知，则，可得 ，经验证满足 题意. 4.已知直线 . （1）当直线在轴上的截距是它在轴上的截距的3倍时，求实数 的值； 解：由条件知，且，在直线的方程中，令得 ，令 得，所以，解得或 ，经检验， 或均符合要求,故实数的值为1或 . 返回导航 33 （2）求直线 所过定点的坐标. 【解】由 ， 得 . 由解得所以直线所过定点的坐标为 . 返回导航 34 1.已学习：直线的一般式方程、利用直线方程判定直线的平行与垂直. 2.须贯通：（1）直线方程的各种形式间的相互转化； （2）利用直线方程的一般式解决直线平行与垂直问题，体现了分类讨论、 化归与转化的思想方法. 3.应注意：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况. 返回导航 35 $