1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

课后达标检测 1 1.若直线的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 ，则直线 与平面 所成的角为( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为直线的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 ，所 以直线与平面 所成的角等于 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.（2025·龙岩期中）在空间直角坐标系中，已知平面 , 的一个法向量 分别为，，则 与 夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 解析：选D.设， ， 则, ， 所以平面 与 夹角的余弦值为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 3.（2025·吕梁期末）在直三棱柱中， , ，则与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 解析：选B. 依题意，以为坐标原点，分别以,, 所在直 线为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，设 ， 则,,, , 所以, ， 则, ， 故与所成角的余弦值为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 4.如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧 棱的长都是底面边长的倍， 平面， 为侧棱上的点，则二面角 的余弦值为 ( ) A. B. C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 解析：选B.连接，交于点，连接,则 平面，以为坐标原点，,, 的方向分 别为轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示的空 间直角坐标系， 设底面边长为 ， 则,,0,,,0, ， ,0, , 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 显然是平面的一个法向量，因为 平面 ，所以 ,0,是平面的一个法向量，设二面角 的平 面角为 ，由图易知 为钝角， 所以, . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 5.（2025·泰安期中）已知三棱柱 的 侧棱与底面垂直， ， ，是的中点，点在 上，且满足 ，当直线与平面 所成的角最大 时的正弦值为( ) A. B. C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 解析：选D.如图，以为原点，，， 所在 直线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系 ， 则，，,,, , ,, ， 平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成的角为 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 则 ， 所以当角 最大时， ， 此时 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.（多选）如图，点，， 分别在空间直角坐标 系的三条坐标轴上，已知 ， ，垂足，为两个不同的点，且 , ，设直线与所成的角为 ，二面 角的大小为 ，则( ) A. B. C. D. 解析：选.由题意可知，,，因为, ,所以 .因为，且由题图可知二面角 为锐二面 角，所以 . √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 7.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面 的 一个法向量为，则直线与平面 所成的角为 __. 解析：设直线与平面 所成的角为 ， 则, ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 8.（2025·北京市西城区期中）在正三棱柱中， ， ，则异面直线与 所成角的大小为__. 解析：分别取,的中点，,连接, ， 由正三棱柱性质可知,, ， 以为坐标原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 由， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 可得,,, ， 所以, ， 又,，且两异面直线所成角的范围为 ,，所以异面直线与所成角的大小为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.（2025·洛阳期末）如图所示，在圆锥中，是底面圆的直径， 为底 面圆周上一点，且,，则平面与平面 夹角的 余弦值为__. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 解析： 连接，在圆锥中，因为 ，所以 ，所以，，两两垂直.以 为坐标原 点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴，建 立空间直角坐标系，如图所示，因为 , ，可得,, ， 则, ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 设平面的法向量为 ， 则令，可得, ， 所以 ， 平面的一个法向量为 ， 设平面与平面的夹角为 ， 则, ， 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 10.（13分）（2025·潍坊期中）如图，在四棱锥 中， 平面， ， ，，为棱 的 中点. （1）证明：平面 ；（4分） 证明：由于为棱的中点，,所以， ,所以四边 形是平行四边形，所以，由于 平面， 平面 ，所以平面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 （2）若 ，求直线与平面 所成角的正弦值.（9分） 解：依题意可知 平面， 平面，所以 ， ，所以 . 又 ，故以为原点，， 所在直线 分别为轴、轴，过点平行于的直线为 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,， , ,, ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 设平面的法向量为 ， 则 令,则 ， 设直线与平面所成的角为 ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 11.已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线 与所成角的余弦值为，则线段 的长为( ) A. B. C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 解析：选B.以为坐标原点，分别以，， 所在直线为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则，， ， 设 ， 则， ， 因为直线与所成角的余弦值为 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 所以， ， 解得 , 所以，， , . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 12.（多选）（2025·青岛期中）将正方形沿对角线 折成直二面角 ，下列结论中正确的是( ) A. B. C.与平面所成的角为 D.与所成的角为 √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 解析：选.令正方形对角线的中点为 ， 则,，由二面角 为直 二面角，得，以 为原点建立如图所示的 空间直角坐标系， 令，则,, , ， , ,, ， 对于A，，即，则 ， A正确； 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 对于B， ，B正确； 对于C，平面的一个法向量为， , ，因此与平面所成的角为 ，C错误； 对于D，,，因此与 所成的角为 ，D正确. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 13.如图，圆台中，上、下底面半径比为 ， 为圆台轴截面，母线与底面所成角为 ，上底 面中的一条直径满足，则与 所 成角的余弦值为___. 0 解析：如图，连接,在下底面中过点作直线，过点 作直 线于点 . 设，由题意可知，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 在轴截面中，， ,所以 以点为坐标原点，，， 所在直线分别 为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， , 因为 ， 所以,,,,, ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 所以，，，,, , 所以 ， 设与所成的角为 ，则 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 14.（17分）如图，在底面为正方形的多面体中，四边形 为矩 形，是线段的中点，且，， . （1）求证：平面 平面 ；（4分） 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 证明：如图，设，则是线段 的中 点，连接 ， 由得,又矩形中， 是线 段的中点，则， ，所以四边 形为平行四边形，则 ，因为四边形 为矩形，则，故，又，, 平 面，所以 平面，又 平面，所以平面 平面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 （2）若二面角的大小为 ，求 的值；（6分） 解：因为 平面，，则 平面，且 ， 以点为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， ， 则，， ， ， ， 所以， ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 设平面的法向量为 ， 则 令，则， ， 所以,1,，易知平面的一个法向量为 ， 因为二面角的大小为 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 则, ， 整理得，而，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 （3）当取何值时，与平面 所成的角最大.（7分） 解：由（2）可知，平面的一个法向量为 ,1, ， 设与平面所成的角为 ， , ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 因为 ， 当且仅当，即 时等号成立， 则 ， 所以当时，与平面所成的角最大，最大角为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 $