1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）
2025-12-02
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教辅
资源信息
| 学段 | 高中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 高中数学人教A版选择性必修第一册 |
| 年级 | 高二 |
| 章节 | 1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 2.47 MB |
| 发布时间 | 2025-12-02 |
| 更新时间 | 2025-12-02 |
| 作者 | 拾光树文化 |
| 品牌系列 | 优学精讲·高中同步 |
| 审核时间 | 2025-12-02 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/55202824.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
内容正文：
课后达标检测
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1.已知是平面的一个法向量，且，则点 到平
面 的距离为( )
A.2 B. C.4 D.
解析：选B.依题意，点到平面的距离 .
√
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2.两平行平面 ， 分别经过坐标原点和点 ，且两平面的一个法
向量 ，则两平面间的距离是( )
A. B. C. D.
解析：选A.因为两平行平面 ， 分别经过坐标原点和点 ，
，且两平面的一个法向量 ，所以两平面间的距离
.
√
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3.（2025·海口期中）已知直线的方向向量为 ，且过点
，则点到直线 的距离的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.6
解析：选B.，所以点到直线 的距离为
，
所以当时，所求距离有最小值，最小值为 .
√
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4.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一
条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”， 平面
，，，，，分别为棱，， 的中点，
则点到平面 的距离为( )
A. B. C. D.
√
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解析：选B.依题意，
以为坐标原点，,,所在直线分别为轴、
轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，， ，所以
，， ，设平
面的法向量为 ，
所以取 ,则
，所以点到平面 的距离
.
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5.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面 底
面， ，，记平面与平面的交线为 ，则
直线到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
√
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解析：选B.
依题意，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角
坐标系，则，， ，
所以， ，
因为， 平面， 平面，所以平面 ，
又平面与平面的交线为，所以，所以点到直线 的距离
即为直线到直线 的距离，则
.
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6.（多选）已知，，， ，则( )
A.
B.直线的一个方向向量为，，
C.，，， 四点共面
D.点到直线的距离为
√
√
√
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解析：选.因为 ，所以
，A正确；
又不与,, 平行，B错误；
由题意得，则，所以,,, 四点共面，C正确；
，， ，
则点到直线的距离为 ，D正确.
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7.已知直线经过点，且向量为直线 所在平面的法向
量，则平面外一点到 所在平面的距离为___.
解析： ，由点到平面的距离公式,
得 .
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8.（2025·佛山期中）已知直线的方向向量为，点 在直
线上，若点到直线的距离为，则 ______.
0或2
解析：由题意得，所以 ，
，所以点到直线的距离为
，
解得或 .
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9.（2025·邵阳月考）如图，已知在棱长为4的正方体
中，，分别是棱，的中点，连接，，，， ，
得到三棱锥 ，则该三棱锥的体积为__.
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解析：
依题意，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
，,，所以， ，
, ，
则，所以 ，
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所以 ,
设平面的法向量为 ，
则
令，则 ，
又 ,
所以点到平面的距离 ，
所以 .
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10.（13分）（2025·西安期中）如图所示，四棱锥的底面
是矩形， 底面，，， .
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（1）证明：直线平面 ；（6分）
解：证明：由题意知,,两两垂直，故以 为原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
，，， .
由，得 ，
解得，同理 ，
所以，显然平面的一个法向量为 ，
且 平面，故直线平面 .
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（2）求点到平面 的距离.（7分）
解：设平面的法向量为 ，
且， ，
由得
取，则, ，
所以，又 ，
点到平面的距离 .
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11.如图，在直三棱柱中， ，
，，，点是棱的中点，点
在棱上运动，则点到直线 距离的最小值为
( )
A. B. C. D.
√
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解析：选A.因为 平面，，以 为
原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
连接，则， ，
设，其中 ，
所以， ，
则点到直线 的距离
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，
设，因为，所以 ，则
, .
所以点到直线距离的最小值为 .
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12.（多选）在棱长为3的正方体中，点在棱 上运动
（不与顶点重合），则点到平面 的距离可以是( )
A.1 B. C.2 D.3
解析：选 .
以为原点，,,所在直线分别为轴、轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,
,，设 ，所以
,， ，
√
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设为平面 的法向量，
则有
令，可得，则点到平面 的距离
，
因为，所以 ，
所以 .
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13.（15分）（2025·淄博期中）如图，在棱长为1的正方体
中，为线段的中点，为线段 的中点.
（1）求点到直线 的距离；（7分）
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解：如图以为原点，，， 所在的直线
分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系，
则, ,
,,,,,,, ，
则， ，
所以，， ，
所以点到直线 的距离
.
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（2）求直线到平面 的距离.（8分）
解：因为，，，，， ，
，，，，， .
因为，， ，
所以，即，又 平面， 平面 ，所以
平面 ，
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所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面
的法向量为 ，
则即
取，则，，所以 ，
所以点到平面的距离为，即直线到平面 的
距离为 .
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14.（17分）（2025·北京期中）如图，已知四棱锥
中，底面是边长为4的正方形，
平面，是正三角形，，，， 分别为
，，， 的中点.
（1）求证： 平面 ；（3分）
证明：因为是正三角形，是的中点，所以 .
又因为 平面， 平面 ，
所以，又，， 平面，所以 平面
.
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（2）求点到平面 的距离；（6分）
解：连接,因为，，两两垂直,所以以 点
为原点，，，的方向分别为轴、轴、 轴
正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，， ，
，，， ，
所以， ，
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设平面的法向量为 ，
由
令,得 .
又 ，
所以点到平面的距离 .
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（3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为 ？若存在，
求 的值；若不存在，请说明理由.（8分）
解：线段上存在点，使得三棱锥的体积为 .理由如下：
设，，, ，
, ，
所以点到平面的距离 ,
， .
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易得， ,
，
所以 ，
解得或 .
所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，此时或 .
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15.（2025·南京期末）如图所示，在长方体 中，
，，与平面交于点，则点到直线 的距离
为_ ____.
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解析：
连接,,以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴
建立空间直角坐标系，如图所示，
则,，，，， ，
，，， ，
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由 平面 ，设
，又
,
所以 ，
设， ,
所以，即 解得
，
所以，，，则，， ，
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又方向上的单位向量为 ，
因此点到直线 的距离为
.
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