1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题 1 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点 处修建一个 蔬菜存储库.在公路上选择一个点，修一条公路到达 点，要想使这个路线 长度理论上最短，应该如何设计？ 返回导航 新课导入 2 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的 平面间的距离问题. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 点到直线的距离 思考1 点到直线的距离是如何定义的？ 提示：点到已知直线的垂线段的长度. 思考2 如图，过点作 直线，垂足为,直线上的点异于点 ，则 与直线上点 的位置有关吗？ 提示：无关. 返回导航 6 ［知识梳理］ 如图，直线的单位方向向量为,是直线上的定点，是直线 外一点. 设，则向量在直线上的投影向量.在 中， 由勾股定理，得点到直线的距离为 ______________. 返回导航 7 ［即时练］ 1.已知过坐标原点的直线的方向向量，则点到直线 的距离是( ) A.2 B. C. D. 解析：选D.由题意可知，在直线 上的投影向量的模长为 ，所以点到直线 的距离 . 故点到直线的距离是 . √ 返回导航 8 2.已知空间向量，，则点到直线 的距离为 ____；点到直线 的距离为_ ___. 解析：， ， 则方向上的单位向量为，， ， 故点到直线 的距离为 ;由向量， ， 可得 ， 返回导航 9 则方向上的单位向量为，0，，因此 点到直 线的距离为 . 返回导航 10 3.已知三棱柱的侧棱垂直于底面， , ,是棱的中点.则点到直线 的距离为_ ___. 解析：由题知，，， 两两垂直， 以点为坐标原点，，,的方向分别为轴， 轴， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， ， 返回导航 11 则方向上的单位向量为，， . 因此点到直线 的距离为 . 返回导航 12 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系; （2）求直线的方向向量<m></m>或单位方向向量<m></m>; （3）计算所求点<m></m>与直线上点<m></m>所构成的向量<m></m>; （4）利用公式<m></m>，计算点到直 线的距离. 返回导航 13 二 点到平面的距离 思考1 点到平面的距离是如何定义的？ 提示：过点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段的长度为点 到平面的距离. 思考2 如图，过点作 平面 ，垂足为,平面 内的点异于点 ， 则与平面 内的点 的位置有关吗？ 提示：无关. 返回导航 14 ［知识梳理］ 如图，已知平面 的法向量为,是平面 内的定点，是平面 外一点. 过点作平面 的垂线，交平面 于点，则是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是在直线上的投影向量的长度.因此 _ _____. 返回导航 15 ［例1］ （对接教材例6）如图，在棱长为2的正方体 中，，，分别是，， 的中点.求： （1）点到平面 的距离; 返回导航 16 【解】如图，以为坐标原点，分别以,, 的方向 为轴、轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， , ,， ， 设平面的法向量，则 即 令，则， ，故 . 则点到平面的距离 . 返回导航 17 （2）点到平面 的距离. 【解】由（1）知，平面的法向量,,所以点 到 平面的距离 . 返回导航 18 用向量法求点到平面的距离的步骤 返回导航 19 ［跟踪训练1］ （2025·唐山期末）在三棱锥 中，， ， 为 的中点， . （1）求证：平面 平面 ； 证明：因为，为的中点，所以 . 又，且,, 平面，故 平面 . 又 平面，所以平面 平面 . 返回导航 20 （2）求点到平面 的距离. 解：由（1）知 平面.因为 平面 ，所以 . 在中,， ,为 的中点，所 以 . 又，所以，又 ， 返回导航 21 所以，即，故，， 两两垂直. 以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 返回导航 22 则，，， ，所以 ，，，， ，设平面 的法向量为，则 令，得 . 则点到平面的距离为 . 返回导航 23 三 线面、面面的距离 ［例2］ 如图，在四棱锥中，底面 是边长为2的正方形， 底面,，,分别是,的中点.求直线与平面 的距离. 返回导航 24 【解】 因为 平面，四边形 为正方 形，以点为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,,,, , 所以, ， 设平面的法向量为 ， 则取 ， 可得，又 , 返回导航 25 所以，因为 平面，所以平面,所以直线 与平面的距离为点到平面 的距离. ，点到平面的距离,所以直线 与 平面的距离为 . 返回导航 26 母题探究 在本例中，再取的中点，求平面与平面 的距离. 解：由例题可知，， ， ， 因为 平面，所以平面 . 因为，， 平面 ，所以平 面平面，所以平面与平面 的距 离即为点到平面的距离，即为 . 返回导航 27 求直线到平面、两平面之间的距离的前提是线面、面面平行，二者均 可转化为求点到平面的距离. 方法如下： （1）如果直线与平面 平行，那么可在直线上任取一点，将直线 到平 面 的距离转化为点到平面 的距离. （2）如果两个平面 , 平行，那么可在平面 内任取一点 ，将两个平 行平面之间的距离转化为点到平面 的距离. 返回导航 28 ［跟踪训练2］ 已知正方体的棱长为1，为 的中点. （1）求到平面 的距离； 返回导航 29 解：因为，， 两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则 ， ，，， ， ，,,，所以,, ， ，,因为，所以 ,又 平面, 平面, 所以平面,所以直线 到 平面的距离就是点到平面 的距离， 返回导航 30 设为平面 的法向量， 则即 令得， ， 故点到平面的距离,即直线到平面 的距离 为 . 返回导航 31 （2）求平面与平面 的距离. 【解】由（1）可得，,， , ，设，分别为平面 、 平面 的法向量， 所以 令，可得, ， 返回导航 32 所以 ， 令，可得, ， 所以，所以，所以平面平面 ，可得 点到平面的距离即为所求，，所以点 到平面 的距离为，故平面与平面的距离为 . 返回导航 33 PART 02 课堂巩固 自测 34 1.空间内有三点，，，则点到直线 的距离为 ( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为，所以 方向上的单位向量为 . 因为，所以点到直线 的距离为 . √ 返回导航 35 2.（多选）已知平面 的一个法向量，点在平面 内，若点到平面 的距离为，则 ( ) A. B. C.4 D.16 解析：选.点，,所以 ，又 ，则点到平面 的距离 ,解 得或 . √ √ 返回导航 36 3.已知平面 ，平面 的一个法向量为,平面 内一点 的 坐标为，直线上的点的坐标为，则直线到平面 的距 离为___. 解析：因为平面 ，所以直线到平面 的距离可转化为点 到平 面 的距离，易知，所以点到平面 的距离 ，即直线到平面 的距离为 . 返回导航 37 4.（教材PT改编）已知正方体的棱长为4，设， ， ，分别是，，，的中点，求平面与平面 的距离. 解：由题知，,,两两垂直，故以 为坐标原 点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则,，，， ， ， ， 返回导航 38 所以，， . 设是平面的一个法向量，则 即 解得所以，， . 又因为， ， 返回导航 39 所以，，所以，，所以 平面 ， 所以平面平面，所以两平面间的距离即为点到平面 的 距离. 从而两平面间的距离为 . 返回导航 40 1.已学习：点到直线的距离与点到平面的距离. 2.须贯通：利用空间向量求点到直线、点到平面的距离体现了数形结合思 想，而线面距、面面距转化为点到平面的距离，则体现了转化与化归的数 学思想. 3.应注意：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用. 返回导航 41 $