1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，涵盖线面关系、法向量应用、空间坐标系建立及动点问题等核心内容。从基础达标题（如方向向量与法向量关系判断）逐步过渡到综合应用题（如四棱锥存在性证明），构建从概念理解到能力提升的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于分层检测设计与向量工具深度融合，通过数学眼光观察空间形式，用数学思维推理证明。解析详细展示坐标系建立、向量运算步骤，培养学生逻辑推理与数学表达能力。学生能提升空间想象与解题技能，教师可借助分层素材实施精准教学，提高课堂效率。

课后达标检测 1 1.（2025·淄博模拟）已知直线的方向向量为，平面 的法向量 为，则与 的关系是( ) A. B. C.与 相交但不垂直 D. 或 解析：选A.由向量，，得，即，所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.（2025·深圳期末）设平面 和 的法向量分别为 , .若 ，则 ( ) A.4 B. C.10 D. 解析：选C.因为 ，所以，解得 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.，，，是空间不共面的四点，且满足， ， ，为中点，则 的形状为( ) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析：选C. 因为，， ，所以 ，，两两互相垂直，因为，， 平面，所以 平面，因为 平 面，所以，所以 为直角三角形. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.如图， 平面，四边形 为正方形， 为的中点，是上一点，当时， ( ) A. B.1 C.2 D.3 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 解析：选B. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形 的边长为1， ， 则，，1，， ， 设，,则 ， ，1， ， 因为，则，解得 ， 即，，，可知是的中点，故 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 5.（2025·攀枝花期末）如图，在直三棱柱 中， ， ，已知与分别为和 的中点，与分别为线段和 上的动点 （不包括端点），若，则线段 长度的 取值范围为( ) A.， B.， C.， D.， √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 解析：选C.由题知，， 两两垂直，以点 为坐标原点，,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，1，,，0，，设点 , ，其中, , ，，，，， ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 由于，则，可得 ， 因为，则, ， , . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.（多选）在正方体中，,,分别为棱，， 的中点，则下列直线与 垂直的是( ) A. B. C. D. √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 解析：选.如图，以为原点，,, 所在直线 分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，设正方 体的棱长为2，则，， ， ，，， . 由,,分别为棱，，的中点，可得， ， ，所以，， ， ，，因为，所以 ， 所以A正确；因为，所以 ，所以B正确；因为 ，所以C错误；因为 ，所以D错误. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 7.已知平面 与平面 垂直，平面 与平面 的法向量分别为 ，，则 的值为___. 5 解析：因为平面 与平面 垂直，所以平面 的法向量与平面 的法向 量垂直，所以，即，解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 8.（2025·深圳期末）已知平面 的一个法向量为 ，若点 ,均在 内，则 _____. 解析：由点，可得 . 因为平面 的一个法向量为 ， 点,均在 内， 所以，则 ，解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 9.在四棱锥中， 底面,, , ,,为的中点，为棱上一点，当时， ___. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 解析： 取的中点,连接，因为，所以 ,由勾股定理可得 ,因为,所以 ,故，，两两垂直，以 为 原点，,，所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 则,，，，，故，， ， ，，，， ， 设 ， 则，，因为 ， 所以 ， 即 ， 解得，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.（13分）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形， 底面，，，分别为，的中点.求证： 平面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 证明：以为坐标原点， 的长为单位长，建立如 图所示的空间直角坐标系. 设，其中，则， ， ，,,，,, ， ， ， 所以， ， 所以， ， 又， 平面， ， 所以 平面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 11.在四棱柱中， 平面，底面 是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱 上的动点 （包括端点），则( ) A.对任意的，，存在点，使得 B.当且仅当时，存在点，使得 C.当且仅当时，存在点，使得 D.当且仅当时，存在点，使得 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 解析：选C.以为坐标原点，,, 所在直线 分别为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,, ，设 ， 所以, ，所以 ， 令，得，由得 ， 所以当且仅当时，存在点，使得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 12.如图，在棱长为2的正方体中，,分别为棱 ， 的中点，为面对角线上的一点，且 ,若 平面，则 __. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 解析：以为坐标原点，，， 所在直线 分别为轴，轴， 轴，建立空间直角坐标系，如 图所示，则,,, , , 所以, , 由,可得 ， 所以 , ,因为 平面 , 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 所以, , 所以 即 解得，当为线段上靠近的四等分点时， 平面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 13.（15分）已知四棱锥 的底面是直角梯 形， ， ，侧面 底面 . 证明： （1） ；（7分） 证明：取的中点，连接 ， 因为为等边三角形，所以 ， 因为平面 底面，平面 底面， 平面 ， 所以 底面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 以为坐标原点，以所在直线为轴，过点 与 平行的直线为轴，所在直线为 轴，建立 空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ， 所以，， ， ， 所以， ， 因为 ， 所以，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 （2）平面 平面 .（8分） 解：取的中点，连接 ， 则，， ， 因为，0，， ， 所以，所以，即 . 因为 ， 所以，即 ， 又因为，， 平面，所以 平面 . 因为 平面 ， 所以平面 平面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 14.（15分）如图，正方形 所在平面和等腰 梯形所在平面互相垂直，已知 ， . （1）求证： ；（7分） 证明：因为平面 平面 ， 平面 平面 ， ， 平面 ， 所以 平面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 27 因为 平面，所以 . 过作于 （图略）， 则，， ， 所以 ， 所以，所以 . 因为，， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 28 （2）在线段上是否存在一点，使得平面 平面 ？若存在， 求出 的值；若不存在，请说明理由.（8分） 解：存在.理由如下： 由（1）知，，，两两垂直.以 为坐标 原点，，，的方向分别为轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系， 则，，， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 假设在线段上存在一点 满足题意， 设 ，则，因为 , 所以 , 所以，， . 令，则 , 即,解得 . 所以当,即时， , 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 又由（1）知，因为,, 平面，所以 平面.又因为 平面，所以平面 平面 . 故存在满足题意的点，此时 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 15.（多选）设常数，如图，在矩形 中， ，， 平面.若线段 上存 在点，使得，则 的取值可能是( ) A. B. C. D.1 √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 解析：选.因为在矩形中， ， ， 平面，所以以 为坐标原 点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ，易知 或 不符合题意， 则，， ， 则有， ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 由得，即 ，若线段 上存在点满足题意，则方程在 内有解，设函数 ，， 图象的对称轴为直线 ，则方程在内有解需满足，又因为 ，所 以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 $