1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

课后达标检测 1 1.已知直线的方向向量为，平面 的法向量为，则“ ”是“ ”的( ) A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 解析：选D.若，则 或 ，故充分性不成立，若 ， 则 ，故必要性成立， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.已知平面 ,为平面 的一个法向量，则下列向量可能 是平面 的一个法向量的是( ) A. B. C. D.,1, 解析：选D.因为 ，设平面 的法向量为，所以 ，即存在实数 ，使 ，只有D项满足条件. 3.已知点，平面，且平面 的法向量 ，则下列各点中不在平面 内的是( ) A. B. C. D. √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 解析：选C.设选项中的点为，对于A, ,所以 ，故A不满足题意； 对于B，，所以 ,故B不满足题意； 对于C,，所以 ,故C满足题意； 对于D，,所以 ，故D不满足题意. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.已知直线和平面 ，且 ，的方向向量为，平面 的一 个法向量为，,，则 的最小值为( ) A. B.2 C. D.4 解析：选C.依题意，，即 ，所以 ，又， ,所以 ，，所以，当且仅当 ，即 ,时，取到等号，所以 ，即 的最小值为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.如图，正方形与矩形 所在平面互相垂直， ，,在上，且平面,则点 的坐标为( ) A. B.，， C.,， D.,, √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 解析：选C.设，交于点，连接（图略）.设点的坐标为 , 因为,所以,,，又, ,所以 ,,，，因为平面 ， 平面，平面 平面，所以 ，易得 ，即解得所以点的坐标为,, . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 6.（多选）已知，分别为直线，的方向向量，不重合， ， 分别为平面 ， 的法向量 ， 不重合，直线，均在平面 ， 外，则下列说法中，正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选 .两直线的方向向量平行，且两直线不重合，则两直线平行， A正确；两直线的方向向量垂直，则它们也垂直，B错误；两个平面的法向 量平行，且两个平面不重合，则这两个平面平行，C正确；一条直线的方 向向量与一个平面的法向量垂直，则这条直线（直线在该平面外）与该平 面平行，D正确. √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 7.若两不重合平面 ， 的法向量分别为，,, ， 则 与 的位置关系是______. 平行 解析：因为， , 不重合，所以 与 平行. 8.已知直线平面，且的一个方向向量为， ， ，，则实数 的值是____. 解析：因为直线平面，所以存在实数，，使 ， ， ，所以 ，所以 解 得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 9.如图，在棱长为3的正方体 中， 点在上，且，点在 上，且 ，若平面内存在一点使得 平面，则一个满足条件的点 的坐标为_________ _______________. ,0, （答案不唯一） 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 解析：由题知,，，，得 ， ， 设，平面的法向量为 . 则即 令，则， ， ， 即 . 取，则，故点,0, . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 10.（13分）如图所示，四边形为矩形， 平面 ， ，，，分别是，， 的中点.求证： （1）平面 ；（6分） 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 证明：因为 平面，， 平面 ，所以， ， 因为四边形为矩形，所以 ， 所以，， 两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 设，， . 则，因为，，分别是，， 的中点， 所以,,，,0,，,, ， 所以,, . 易知平面的一个法向量为，且，即 . 又因为 平面，所以平面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 （2）平面平面 .（7分） 解：因为 ， 且，所以 ， 又 平面，所以平面 . 又由（1）知平面,且，， 平面 ， 所以平面平面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 11.如图，在棱长为1的正方体 中， ， ，若平面 ，则 线段 长度的最小值为( ) A. B. C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析：选D. 如图，以点为坐标原点，，， 所在直 线分别为,,轴，建立空间直角坐标系.连接 , . 则有,,, , , 依题意， ， , 于是， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 又因为， 平面， 平面,则 ,又 ,， 平面，故 平面 ,故平面 的法向量可取为，因为平面 ，故 ，即 . 则 , 因为,故当时， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 12.（多选）如图，在正方体中，， ， ， 均是所在棱的中点，则下列说法正确的是( ) A. B.平面 C.平面平面 D. √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 解析：选.依题意，以 为坐标原点，建立空间直角坐 标系 ，如图所示. 不妨设正方体的棱长为2，则 , ,,,,, , 所以, ， 所以，即，即 ，故A正确； 所以, ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 设平面的法向量为 ， 则即 令，则,，所以 ， 又，即 ，又 平面，所以平面 ，故B正确； 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 由选项A，B知，,平面,又 平面 ,所以 平面,因为，分别为，的中点，所以 ，因为 平面, 平面,所以平面 ,又因为 ，， 平面，所以平面平面 ,故C正 确； 因为,,所以和 不平行，故D错误. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 13.如图，在四棱锥中， 平面，四边形 为直 角梯形，，，，， 为等腰直 角三角形，点在棱上，若点为的中点，且平面 ，则点 的坐标为__________. ，， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 解析：结合已知条件和题图可知，，， ， ，，，，，不妨设，因为点在棱 上， 所以， ， 解得 ， ， ， 所以 ， 从而,, ， 由题意可知，为平面 的一个法向量，故 ，解得，从而点的坐标为，， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 14.（15分）如图，正方体的棱长为4，点为棱 的中 点，，分别为棱，上的点，且，交于点 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 （1）求证：平面 ；（7分） 证明：如图，过点作于点，连接 ， 由题意得，为 的中点， 在正方体中，因为为 的中 点，所以， ， 所以四边形 为平行四边形， 所以 ， 因为 平面， 平面 ， 所以平面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 （2）求证：四边形 为平行四边形，并计算其面积.（8分） 解：如图，以为原点，，， 所在直线 分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系， 则，，， ， 所以 ， 所以且 ， 所以四边形 为平行四边形， 又， ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 27 所以 ， 所以，所以四边形 的面积 为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.（17分）如图，在四棱锥中， 平 面，， ， ，，， . （1）证明：平面平面 ；（7分） 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 证明：如图，连接,由于 平面， 平面,则 . 且， ， 则 . 又，则 ， 故 . 又,则,又 , 则四边形为正方形.则 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 又 平面, 平面 , 则平面 . 由于，，则 . 又，则 , 则,则，则 . 又 平面, 平面,则平面 . 又，， 平面,则平面平面 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求 的值； 若不存在，请说明理由.（10分） 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 解：由（1）可知，四边形为正方形， 平面，则，， 两两垂直，可建立如 图所示的空间直角坐标系 . 则,,,, , 假设棱上存在一点，使得平面 ，设 , , 则, . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设平面的法向量为 ， 且, . 则则 取,解得 . 又 , 因为平面，则 . 即，则，解得.此时 .故棱 上存在一点，使得平面， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 $