1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）
2025-12-02
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教辅
资源信息
| 学段 | 高中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 高中数学人教A版选择性必修第一册 |
| 年级 | 高二 |
| 章节 | 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 1.45 MB |
| 发布时间 | 2025-12-02 |
| 更新时间 | 2025-12-02 |
| 作者 | 拾光树文化 |
| 品牌系列 | 优学精讲·高中同步 |
| 审核时间 | 2025-12-02 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/55202818.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统覆盖法向量、方向向量的概念及应用，直线与平面位置关系的判断等核心知识点。通过基础题如坐标平面法向量判断导入，逐步过渡到综合应用如正方体中方向向量与法向量辨析，构建从概念到实践的学习支架。
其亮点在于分层设计基础达标、能力提升、素养拓展模块，结合几何直观培养数学眼光，通过逻辑推理发展数学思维，以符号运算强化数学语言表达。例如正方体中平面法向量求解，帮助学生深化空间观念，教师可借此全面检测教学效果，提升课堂效率。
内容正文：
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1.在空间直角坐标系中，坐标平面 的一个法向量可以是( )
A. B. C. D.
解析：选C.在空间直角坐标系中，轴垂直于平面，故平面 的法向
量可以是 .
2.已知平面 以为法向量，且经过坐标原点和点 ，
则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析：选B.由题意知,则，解得 .
√
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3.若是平面 的一个法向量，则下列向量也可以作为平面
的法向量的是( )
A. B. C.,, D.,,
解析：选D.因为法向量不是零向量，所以A不符合题意；因为 ，
所以B不符合题意；因为 ，所以C不符合题意；因为
,,，所以，所以,,也可以作为平面 的法向量，所以D符合题意.
√
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4.在空间直角坐标系中，直线过点且以 为方向向量，
为直线上的任意一点，则点 的坐标满足的关系式是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.依题意，， ，则 ，
所以点的坐标满足的关系式是 .
√
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5.已知点在平面 内，是平面 的一个法向量，则
下列各点在平面 内的是( )
A. B. C. D.
解析：选B.设是平面 内的一点，则 ，
所以，即 ，选项B满足.
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6.（多选）如图，四棱柱 为正方体，则( )
A.直线的一个方向向量为
B.直线的一个方向向量为
C.平面的一个法向量为
D.平面的一个法向量为
解析：选.设正方体的棱长为1，因为，且 ，所
以A正确；因为，，所以B正确；因为 平面
，，所以C正确；因为，但 与平面
不垂直，所以D错误.
√
√
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7.已知的三个顶点分别为，，，则 边上
的中线的一个方向向量为______________________.
（答案不唯一）
解析：由于的三个顶点分别为，，，则
的中点坐标为,,，即.所以 边上的中线的一个方向向
量为 .
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8.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点 .
若平面 经过点，且以为法向量，是平面 内的任意一点，则点 的
坐标满足的关系式为_________________.
解析：由题意得，若平面 经过点，且以 为
法向量，则，即点 的坐标满足
的关系式为 .
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9.在空间直角坐标系中，已知,，若平面 的一个法
向量为，则直线 的一个方向向量为_______.
解析：因为， ,
所以 ，
又平面的一个法向量为 ，所以
，解得 ，
所以直线的一个方向向量为 .
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10.（13分）已知点,是直线 上两点.
（1）求直线 的一个方向向量；（5分）
解：直线的一个方向向量为 .
（2）判断点是否在直线 上.（8分）
解：由已知得 .
设, ,
即 ，
所以无解，即这样的 不存在，即向量与不共线.故点
不在直线 上.
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11.已知向量，，，若 是平面
的法向量，则 的值是( )
A.3 B.2 C.6 D.4
解析：选A.由题可得 ，
，
又为平面 的法向量，
所以，解得 ，
，解得 ，所以
.
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12.（多选）已知，分别是平面 ， 的法向量，则
平面 ， 交线的方向向量可以是( )
A. B. C. D.
解析：选.平面 ， 交线的方向向量应该与和 同时垂直，对于A，
，A错误；对于B，
， ，B正
确；对于C， ，
，C正确；对于D，
，D错误.
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13.（13分）在正方体中，，分别为棱， 的
中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
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（1）直线 的一个单位方向向量；（6分）
解：设正方体的棱长为2，则， ，
，，则直线的一个方向向量 ，而
，
所以直线 的一个单位方向向量为
,, .
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（2）平面 的一个法向量.（7分）
解：由（1）可得，，设平面 的一个法向量
为 .
所以即
令，则，，所以平面 的一个法向量为
.
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14.（15分）已知点是平行四边形 所在平面外一点，如果
，， .
（1）求证：是平面 的法向量；（7分）
证明： ，
，
所以， .
又， 平面， ，
所以 平面 .
所以是平面 的法向量.
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（2）求平行四边形 的面积.（8分）
解：因为 ，
，
，
所以， ，
又， ，
故，，
， .
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15.在直三棱柱中，， ，平面
的一个法向量为，则棱 的长为___.
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解析：以为原点，,,所在直线分别为轴、
轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设，由题意可知，， ，
所以， ，
因为平面的一个法向量为 ，所以根
据法向量的定义可得，，解得 ，且
，所以 .
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