1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，通过巨石受力的实际问题导入，衔接平面向量坐标运算知识，以类比迁移构建从二维到三维的学习支架，系统呈现加减、数乘、数量积的坐标公式及应用。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过正方体线面垂直证明等实例发展数学思维，结合四棱锥夹角计算训练数学语言表达，拓展n维向量激发创新意识。学生能提升空间观念与推理能力，教师可获得系统教学流程和多样化例题支持。

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 1 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢 修队员紧急赶到从三个方向拉巨石.这三个力分别 为，， ，它们两两垂直，且 ， ， .若以，，的方向分别为 轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，你知道巨石所受合力 的坐 标是多少吗？本节课我们将探究此类问题. 返回导航 新课导入 2 1.掌握空间向量运算的坐标表示. 2.掌握空间两点间的距离公式. 3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 空间向量的坐标运算 回顾之前学习过的平面向量相关知识，回答以下问题： 思考1 在平面直角坐标系中，,， 的坐标是什么? 提示： . 思考2 设平面向量,，则,,, 的运算 结果分别是什么？ 提示：, , , . 返回导航 6 思考3 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空 间向量运算的坐标表示吗？ 提示：设, ,与平面向量运算的坐标表示一样， 有, , ,, . 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.若， ，则 加法 ①_____________________ 减法 ②________________________ 数乘 ③__________________, 数量积 ④________________ 2.设,，则 （⑤____________________）.即一个 空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标⑥______起点坐标. ,, 减去 返回导航 8 ［即时练］ 1.（2025·福州期中）已知点，若向量，则点 的坐 标是( ) A. B. C. D. 解析：选D.设点，而点，则 ，又 ， 因此解得所以点的坐标是 . √ 返回导航 9 2.已知，,则 ____. 解析：由题意得，, ，则 . 返回导航 10 3.（2025·北京期中）在空间直角坐标系中，已知点 ， ，，，若，，，四点共面，则 ___. 2 解析：因为，，， ，所以 ，，，因为 ， 所以与不共线，因为，，，四点共面，所以存在实数, 使得 ，所以 ， 所以解得 返回导航 11 空间向量坐标运算的解题方法 （1）直接计算，首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向 量的坐标运算公式计算. （2）由条件求向量的坐标时，首先把向量用坐标的形式设出来，然后建 立方程（组），解方程（组）求出其坐标. 返回导航 12 二 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 思考 设平面向量，，则与 的充要条件分 别是什么？对于空间向量是不是也有类似结论？ 提示：； .对于空间向量 也有类似结论. 返回导航 13 ［知识梳理］ 若, ,则 共线 当时， ①________ ②_______________________ ___ 当,,且时， 垂直 当,时， ③_________ ④_________________ ________ ,, 返回导航 14 角度1 证平行与垂直 ［例1］ （对接教材例2）在正方体中，已知,,, 分 别是,,, 的中点.求证: 【证明】如图，以为坐标原点，以,, }为 正交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1， 则,,,, , , . 由中点坐标公式，得,1,,,,,,1,, ,, . 返回导航 15 （1）, ; 【解】,,0, , ,, . 因为,,所以 , , 即, . 返回导航 16 （2） 平面 . 【解】,1,,,, , ,0, . 因为,，所以 , , 即, . 因为,, 平面 ， 所以 平面 . 返回导航 17 利用向量证明直线、平面平行或垂直，需建立恰当的空间直角坐标系， 求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明. 返回导航 18 角度2 求参数 ［例2］ （1）（2025·青岛期中）已知， ，若 ，则 ( ) A.4 B.2 C.11 D.3 解析：因为， ，所以 ，解得 . √ 返回导航 19 （2）已知空间两点，，点在直线 上运动， 则 _____. 解析：依题意得，，,因为点 在直线 上运动，则存在非零实数 ，使得 ，得 ，则解得 所以 . 返回导航 20 判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件； 已知两向量平行或垂直求参数的值，利用平行、垂直的充要条件，将位置 关系转化为坐标关系，列方程（组）求解. 返回导航 21 ［跟踪训练1］ （1）（2025·深圳期中）设,，向量 ， ,,且,,则 ( ) A. B. C.2 D.8 解析：选B.因为，所以，解得，由 可知，，解得，所以 . √ 返回导航 22 （2）如图，在长方体中，，,, 分别是, 的中点.求证： ①四边形 为平行四边形； 返回导航 23 证明：以为坐标原点，,,的方向分别为 轴、轴、 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标 系， 则,,,, ， , 所以， , 所以 , 又,,，四点不共线，所以四边形 为平行四边形. 返回导航 ② 平面 . 【解】由①知, , 所以 ， ，所以, ,即 ，,又因为,， 平面 ,所以 平面 . 返回导航 25 三 空间夹角、距离的计算 思考 设平面向量， ，如何求两者的夹角？对于空 间向量也有类似结论吗？ 提示：先求，，再利用夹角公式 , ，最后利用三角函数值求出夹角.对于空间向量也有类似 结论. 返回导航 26 ［知识梳理］ 1.若, ,则 模 ①_______ ②_ _____________ 夹角 ,③_ ____ ④_ _________________ 2.空间两点间的距离公式 设,，则 ⑤__________________________________. 返回导航 27 ［例3］ （对接教材例3）如图，在棱长为2的正方体 中，，分别是，的中点，在棱上，且，是 的 中点. 返回导航 28 【解】 如图，以为原点，，，分别为轴、轴、 轴，建立空间直角 坐标系，连接 ， 则，，，，，， ， 返回导航 29 （1）求 的长； 【解】因为是的中点，所以，， ， 所以，， ， ， 即 . 返回导航 30 （2）求与 所成角的余弦值. 【解】因为，所以，因为,, ，所以 ，且，， ， 所以，.设与所成的角为 , 则, , 即与所成角的余弦值为 . 返回导航 31 母题探究 在本例中，求的面积 . 解：由本例解析可知，，，,, , ，，， ， 所以, ， 所以 ， 所以,故 的面积 . 返回导航 32 利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的一般步骤 （1）建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； （2）求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标; （3）计算：结合公式进行计算; （4）转化：转化为夹角与距离问题. 返回导航 33 ［跟踪训练2］ 如图，在四棱锥中， 底面 ，底面 是边长为2的菱形， ，为的中点，，以 为 坐标原点，的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 返回导航 34 （1）求线段 的长； 解：在菱形中， ， 则 ， 易知为等边三角形，则 ， 在等边三角形中，为 的中点， 则， ， 返回导航 35 在中， ， 所以， , 所以 . , 即 . 返回导航 36 （2）求异面直线与 所成角的余弦值. 【解】由题易知，，， ，则 ，，所以 ， ， ， 设异面直线与所成的角为 ， 则, . 返回导航 37 拓视野 向量概念的推广与应用 教材人教A版选择性必修第一册第23页“阅读与思考”介绍了《向量概 念的推广与应用》的有关内容,目的是让学生从二维向量扩展到三维向量的 过程中去感悟:向量能否进一步扩展到四维、五维甚至 维的情况，以培养 学生对未知世界探索的兴趣. 返回导航 38 拓展结论：用元有序实数组表示维向量，它构成了 维向量空间， . 对于 维向量空间的向量也可以定义加法运算、减法运算、数乘运算、 两个向量的数量积、向量的长度（模）、两点间的“距离”等 . 返回导航 39 设， ，则 ； ， ； ； . 维向量空间中， 两点间的距离 . 返回导航 40 ［典例］ （多选）《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦” 充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到 数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而到平面直角坐标系中的四个 象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到复杂的变化过程.现将平 面向量的运算推广到维向量，用有序数组 表示 维向量，已知维向量， ，则 ( ) A. B. C., D.存在，使得 √ √ 返回导航 41 解析：类比平面向量的运算， ，所以 ，A错误； ，B正确； ， ,，C正确；假设存在，使得 ，则有 且 ，此时 无解，D错误. 返回导航 42 对于 维向量的有关问题，一般都会给出相关的性质或运算法则，只 需借助这些性质或法则，用二维向量、三维向量的处理方法解决即可. 返回导航 ［练习］ 在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介， 进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用 户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在 维空 间中，正交的定义是两个维向量, 满 足 .已知某通信方式中用户的信号是4维非平行 向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为 ,,,,0, .写出一个满足条件的第四个用户的信号向量 _______________________. （答案不唯一） 返回导航 44 解析：设满足条件的第四个用户的信号向量是 ， 则 则则, ， 故满足条件的一个信号向量是 . 返回导航 45 PART 02 课堂巩固 自测 46 1.（教材P练习T改编）已知向量， ， ，则 ( ) A.12 B. C.9 D. 解析：选A.由题意， ，则 . √ 返回导航 47 2.已知向量，，若，则 ( ) A. B.1 C. D. 解析：选A.因为， ， 且，所以存在,使得 ， 即 ， 所以解得 即 . √ 返回导航 48 3.已知，，，若向量与垂直 为坐标原点，则 ___. 解析：，， ， 所以 ， 因为向量与 垂直， 所以，所以 . 返回导航 49 4.（教材P T改编）如图，四棱柱 是棱长为1的正方 体，若点为的中点， . 返回导航 50 （1）求 的长； 解：以为原点，，,所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系， 则,,1,,,, , ,, , 则,故的长为 . 返回导航 51 （2）求与 所成角的余弦值. 【解】由（1）得,,,,则 , , 因为异面直线所成的角的取值范围为， ， 故与所成角的余弦值为 . 返回导航 52 1.已学习：空间向量运算的坐标表示及应用. 2.须贯通：空间向量的坐标运算实际上是平面向量坐标运算的推广 （在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标），与平面向量的坐标运算 相比，空间向量坐标运算的适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关 问题. 3.应注意：（1）两向量对应坐标的比相等是 的充分不必要条件，而 非充要条件; （2）讨论向量夹角忽略向量共线的情况. 返回导航 53 $