1.3.1 空间直角坐标系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 1 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学 研究数量关系与空间形式， 对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞 ， 不通过数量关系，我想不出有什么好的办法……”我们应如何理解吴文俊先 生的这段话？如何刻画点在直线上、平面内、空间内的位置？本节课我们 就来研究这个问题. 返回导航 新课导入 2 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间坐标 系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 空间直角坐标系及点的坐标 思考1 利用单位正交基底是如何建立平面直角坐标系的？ 提示：选定一点和一个单位正交基底{，，以为原点，分别以， 的 方向为正方向，以它们的长度为单位长度作为轴、 轴，就建立了平面直 角坐标系. 思考2 在平面直角坐标系中，如何定义向量的坐标及点的坐标的呢？ 提示：在单位正交基底{，}下，若向量，那么向量 的坐 标为，点的坐标为 . 返回导航 6 ［知识梳理］ 1.空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底｛,,｝.以点为原点，分别以,, 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：①_____、 ②______、③_____，它们都叫做坐标轴.这时我们建立了一个空间直角坐 标系叫做原点，,, 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫 做坐标平面，分别称为④_____平面，⑤_____平面，⑥_____平面，它们 把空间分成八个部分. 轴 轴 轴 返回导航 7 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向⑦_____的正方向，食指指向 ⑧______的正方向，如果中指指向⑨_____的正方向，则称这个坐标系为 右手直角坐标系. 轴 轴 轴 3.点的坐标 在单位正交基底{，，}下与向量对应的有序实数组 ，叫做点 在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标， 叫做点的纵坐标，叫做点 的竖坐标. 返回导航 8 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是 的形式.( ) × （2）空间直角坐标系中，在坐标平面内的点的坐标一定是 的形 式.( ) × （3）点位于 平面内.( ) √ （4）空间直角坐标系中，点到坐标平面 的距离为3.( ) √ 返回导航 9 2.点在坐标平面 内的射影的坐标是( ) A. B. C. D. 解析：选B.点在坐标平面内的射影即由作平面 的垂线， 垂足的坐标为 . √ 返回导航 10 3.已知在长方体 中， ，，点是的中点，点 是 的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间 直角坐标系，写出点，， 的坐标. 解：由于为坐标原点，所以 ， 因为，，则 ， ，， ， 因为点是的中点，点是 的中点，所以 ， . 返回导航 11 （1）建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则：①让尽可能多的点落在 坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性. （2）求某点的坐标的方法：作垂直于平面，垂足为，求 的 横坐标，纵坐标，即点的横坐标，纵坐标，再求点在 轴上射影 的竖坐标，即为点的竖坐标，于是得到点的坐标 . 返回导航 12 二 空间向量的坐标表示 思考 同学们还记得相等向量吗？任给一个空间向量能用过原点的向量表示吗？ 提示：相等向量是大小相等、方向相同的向量，任何向量都可以平移到以 坐标原点 为起点，所以任给一个空间向量可以用过原点的向量表示. 返回导航 13 ［知识梳理］ 在空间直角坐标系中，给定向量 ，作 .由空间向量基本定理，存在唯一的有序 实数组，使 . 有序实数组叫做在空间直角坐标系 中的坐标，上式可简记作 . 返回导航 14 ［例1］ （对接教材例1）已知在直三棱柱 中， ， ，建立如图所示 的空间直角坐标系，求向量,, 的坐标. 【解】 由题意可设,, , , , . 返回导航 15 用坐标表示空间向量的步骤 返回导航 16 ［跟踪训练1］ 如图，垂直于正方形所在的平面，， 分别是 ，的中点，且 ，试建立适当的空间直角坐标系，求向量 ，， 的坐标. 返回导航 17 解：因为， 平面， ， 所以以，， ｝为单位正交基底，建立空间直角坐 标系如图所示. 设,, , 因为 , , ，， .（答案不唯一，建立空间直角坐标系不同，答案不同） 返回导航 18 三 空间中点的对称问题 ［例2］ 在空间直角坐标系中，已知点 ，求： （1）点 关于各坐标平面对称的点的坐标； 【解】设点关于坐标平面的对称点为，则点在轴上的坐标及在 轴上的坐标与点的坐标相同，而点在轴上的坐标与点在 轴上的坐标 互为相反数.所以，点关于坐标平面的对称点的坐标为 .同理， 点关于，坐标平面的对称点的坐标分别为， . 返回导航 19 （2）点 关于各坐标轴对称的点的坐标； 【解】设点关于轴的对称点为，则点在轴上的坐标与点 的坐标相 同，而点在轴上的坐标及在轴上的坐标与点在轴上的坐标及在 轴 上的坐标互为相反数.所以，点关于轴的对称点的坐标为 . 同理，点关于轴、轴的对称点的坐标分别为， . （3）点 关于坐标原点对称的点的坐标. 【解】点关于坐标原点对称的点的坐标为 . 返回导航 20 求解空间中点的对称问题的策略 （1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握 对称点的变化规律，才能准确求解. （2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这 个结论. 返回导航 21 ［跟踪训练2］ （1）在空间直角坐标系中，点 关于坐标平 面的对称点为，则 ( ) A.0 B.2 C. D.4 解析：选C.依题意，点关于坐标平面的对称点为 ，也 就是，所以，，.即 . （2）在空间直角坐标系中，已知点在平面上的射影为 ， 在平面上的射影为，则点 的坐标为_______. 解析：因为点在平面上的射影为，在平面 上的射影为 ，所以 . √ 返回导航 22 PART 02 课堂巩固 自测 23 1.在空间直角坐标系中，与点关于 平面对称的点的坐 标为( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题意，在空间直角坐标系中，与点关于 平面对称的点的横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为 . √ 返回导航 24 2.在空间直角坐标系中，点到坐标平面和 的距离分别为 ( ) A.3，4 B.4，7 C.3，7 D.5，7 解析：选C.因为轴 平面，轴 平面，所以点 到坐标平 面和 的距离分别为3，7. 3.若点，关于轴对称，则 ___. 2 解析：因为点，关于轴对称,所以， ， ，所以 . √ 返回导航 25 4.（教材P T改编）已知 是棱长为 2的正方体，，分别为和 的中点，建立如图 所示的空间直角坐标系，试写出，， 的坐标. 解：设，, , 则 ， ， . 返回导航 26 1.已学习：空间直角坐标系的概念、空间点的坐标及空间向量的坐标. 2.须贯通：求空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标，要考虑数形结合、 类比联想的思想的应用. 3.应注意：混淆空间点的坐标和向量的坐标的概念，只有起点在原点的向 量的坐标才和终点的坐标相同. 返回导航 27 $