1.2 空间向量基本定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

1.2 空间向量基本定理 1 “道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自 老子的《道德经》，他表示“道”生万物，从少到多，从 简单到复杂的一个过程，联系到我们学过的平面向量基 本定理，可以概括为给出一个二维的基底可以生成平面 中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一个三维 的基底，可以生成空间中的所有向量.这节课我们来探究空间向量基本定理 有哪些应用. 返回导航 新课导入 2 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用. 2.会用基底表示空间向量. 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 空间向量基本定理 如图，已知正方体的棱长为 ，在 ，，上分别取单位向量，， . 思考1 ，， 共面吗？ 提示：不共面. 思考2 能否用，，表示向量 ？若能，如何表示？ 提示：能， . 返回导航 6 ［知识梳理］ 1.定理 条件 三个①________的向量,,和②__________空间向量 结论 存在唯一的有序实数组 ,使得③_________________ 不共面 任意一个 2.基底 三个向量,,④________，那么｛,,｝叫做空间的一个基底，,, 都 叫做⑤________. 如果空间的一个基底中的三个基向量两两⑥______，且长度都为⑦___， 那么这个基底叫做单位正交基底，常用{,, }表示. 不共面 基向量 垂直 1 返回导航 7 3.正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向 量，， ，使⑧_________________.像这样，把一个空间向量分解为 三个两两⑨______的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 垂直 返回导航 8 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 也可以作为基向量.( ) × （2）空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示.( ) × （3）如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 与 共线.( ) √ （4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.( ) × 返回导航 9 2.已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量， 构成基底的向量是( ) A. B. C. D. 解析：选D.因为，，又 ， ， ，显然A，B，C三 个选项中的向量都与，共面，对于D，若与，共面，则存在 ， 使得 ，则 ，这与{，， } 是空间的一个基底矛盾，故能与， 构成基底. √ 返回导航 10 3.已知{，，}是空间的一个单位正交基底， ，若 ，则 ___. 4 解析： ，又 ， 所以，， ， 故 . 返回导航 11 判断基底的方法 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是 否共面，若不共面，就可以作为空间的一个基底. （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几 何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基 础上构造其他向量进行相关的判断. 返回导航 12 二 用基底表示空间向量 ［例1］ （对接教材例1）如图所示，在四棱锥 中，底面是正方形，是 的中点， 设，，，试以，， 为基向量 表示出向量 . 【解】 因为是的中点，底面 是正方形，所以 . 返回导航 13 母题探究 在本例中，若只把条件“，， ”变为“ ，，”,再以，，为基向量表示出向量 . 解：连接（图略）， . 返回导航 14 用基底表示空间向量的步骤 返回导航 15 ［跟踪训练1］ 如图，在三棱柱中，， 分 别是线段，的中点，设，， . 用，，表示 ____________. 解析： . 返回导航 16 三 空间向量基本定理的应用 角度1 证明空间位置关系 ［例2］ （对接教材例2）如图，在四棱锥中，底面 是矩 形，，分别是，的中点， 平面，且 ， .求证： 返回导航 17 （1）平面 ； 【证明】因为 ， 所以，， 共面. 又因为 平面，， 平面 ， ，所以平面 . 返回导航 18 （2） . 【解】因为 ， 所以，所以 . 返回导航 19 证明平行、垂直问题的思路 （1）利用向量共线的充要条件来证明直线平行，进一步证明线面平行. （2）将要证的线面垂直转化为线线垂直，再转化为两直线的方向向量的 数量积为0. 返回导航 20 角度2 求异面直线所成的角 ［例3］ 在直三棱柱中， ， ，，分别为棱，的中点，则异面直线 和 所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. √ 返回导航 21 解析：如图所示， 设，，，则 ， 所以， .由空 间向量的基本定理， ， ，所以 ， 返回导航 22 又 ， . 返回导航 23 设异面直线和所成的角为 ， 则 . 返回导航 基底法求异面直线所成角的策略 将异面直线所成的角转化为两条直线的方向向量的夹角（或其补角）. 再用基向量表示出两方向向量，并借助于向量的运算求出角. 注意 两异面直线所成的角的取值范围为<m></m>，<m></m>，要把向量的夹角转化为异 面直线所成的角. 返回导航 25 角度3 求距离（长度）问题 ［例4］ 在正四面体中，，且，分别为， 中点，则 的长为____. 返回导航 26 解析：连接（图略），在正四面体中，设， ， ， 则 ， 则 ， . 返回导航 27 求空间距离（长度）问题的步骤 （1）选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示； （2）求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度. 返回导航 28 ［跟踪训练2］ （1）如图，平行六面体 的所有棱长均 为2，，，两两直线所成夹角均为，点，分别在棱， 上，且，，则_____；直线与 所成角的 余弦值为_ ___. 返回导航 29 解析：连接， ， ； ， ，故 返回导航 30 因为 ， 故，故 ， 返回导航 31 则 ， 故直线与所成角的余弦值为 . 返回导航 32 （2）如图，三棱锥中，，分别是 ， 上的点，且，，设 ， ， . ①试用，，表示向量 ； 解： . 返回导航 33 ②已知，，且 ，若 ，求 的值. 【解】由可得 ， 即 ， 即 ， 解得 . 返回导航 34 PART 02 课堂巩固 自测 35 1.（教材P T改编）在正方体中，为上靠近 的 四等分点，若，，，以{，， }作为空间的一个 基底，则向量 可表示为( ) A. B. C. D. 解析：选B.由题意得， . √ 返回导航 36 2.下列可使非零向量，， 构成空间的一个基底的条件是( ) A.，，两两垂直 B. C. D. 解析：选A.由空间任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底可得 A正确；若，则与共线，此时与， 必然共面，所以无法构成 空间基底，B错误；与都表示，， 共面，C， D错误. √ 返回导航 37 3.（教材P T改编）在正三棱柱中，为 中点， ，则直线与 所成角的余弦值为___. 解析：设，， ， 则， ， 由， ， 可得， ， 所以直线与所成角的余弦值为 . 返回导航 38 4.如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形， ， . 返回导航 39 （1）利用空间向量证明 ； 解：证明：设，， ， 则{，， }构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以，所以 . 返回导航 40 （2）求 的长. 解：由（1）知 ， 所以 . 所以 . 返回导航 41 1.已学习：空间向量基本定理及其应用. 2.须贯通：空间向量基本定理表明空间的任意一个向量都可以用空间的一 个基底来表示，并且这种表示是唯一的，体现了转化与化归的思想方法. 3.应注意：向量的夹角和线线角的范围不同，不要混淆. 返回导航 42 $