模块综合检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

这是一份高中数学期末模块综合检测资料，包含模拟测试与模块检测，题型多样，涵盖直线与圆、数列、函数、圆锥曲线等核心知识点，通过详细解析为学生提供系统的知识巩固支架。 资料特色鲜明，融合数学核心素养，如第3题等差数列求和培养逻辑推理能力，第5题椭圆离心率计算提升数学抽象眼光，解析步骤详尽。能帮助学生夯实基础，为教师教学提供丰富例题，助力高三学生聚焦升学考试重点。

模块综合检测 1 （时间：120分钟,满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.过点且与直线 垂直的直线方程为( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为直线的斜率为2，所以过点 且与直线 垂直的直线的斜率为 ，所以，所求直线方程为 . √ 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 2.已知圆的方程为，过点 的该圆的所有弦中，最短 弦的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选B．整理为，故圆心为 ， 半径为 ， 设，故当 与圆的弦垂直时，弦最短，其中 ， 由垂径定理得，最短弦的长为 .故选B． √ 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 3.设为等差数列的前项和，若，则 ( ) A.9 B.6 C.3 D.0 解析：选B.由题意得，解得 ，所以 . √ 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 4.若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是 ，则双曲 线的方程是( ) A. B. C. D. 解析：选A.由题设,可设双曲线为且，又 在双曲 线上，所以，则双曲线的方程是 .故选A. √ 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5 5.已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆 的离心率是( ) A. B. C. D. 解析：选A．由题意可知，即，所以 ， 所以离心率 .故选A． √ 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 6.已知，为正数， ，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 解析：选A.不等式可化为 ，令 ，则，则函数 为增函数. 由可得 .故选A. √ 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 7.已知数列的前项和满足，，则 的取值范 围是( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题意知，则，即 ，且 ，两式相减得：，因为 ，所 以，故，则数列是首项为，公比为 的等比数列， 所以，由于随的增大而减小，故 单调递增，所以，综上， .故选C. √ 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 8.设为实数，若关于的方程有两个解，则实数 的取值 范围为( ) A. B. C. D. √ 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 解析：选C.令，则当时，；当 时， . ，当时，， 单调递增； 当时，，单调递减，所以 . 因为关于的方程有两个解，即与 有两个 交点， 所以，故实数的取值范围为 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分. 9.设圆的圆心为，直线过点，且与圆 交于,两点，若，则直线 的方程为( ) A. B. C. D. √ √ 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11 解析：选.圆，即 的 圆心为 ，半径为2， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ， 由得 或此时 ,符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 . 由，得圆心到直线的距离 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 故，解得 ， 则直线的方程为，即.故选 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知直线与椭圆交于，两点，若是直线 上一点， 为坐标原点，则下列结论正确的有( ) A.椭圆的离心率为 B. C. D.若,是椭圆的左、右焦点，则 解析：选．由椭圆知，, ，则 ， 所以,, ， √ √ √ 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 故离心率 ，故A正确； 设, ， 联立 所以 ， 则, ， 故 ，故B正确； 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ， 所以与 不垂直，故C不正确； 因为,是椭圆的左、右焦点，所以, ， 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 若是直线 上一点，如图， 设关于直线对称的点为，设 ， 则 解得 即 ， 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 则 ，又由三角形三边关系可得 （当点为 时，取等号）， 又 ，即 ，故D正确.故选 ． 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知函数及其导函数满足 ，且 ，则下列说法正确的是( ) A.在上有极小值 B.的最小值为 C.在上单调递增 D.的最小值为 解析：选．由题意得 ，即 ，令为常数 ， 所以，因为，可得 ，所以 ， ， √ √ √ 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 ，当时，，单调递减，当 时，， 单调递增. 对于A选项，易得当时， 取得极小值，A正确； 对于B选项， ，B错误； 对于C选项，当时， ，所以 在 上单调递增，C正确； 对于D选项，，令，可得 ， 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当时，，此时单调递减；当时， ， 此时 单调递增， 所以，，D正确.故选 ． 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线过抛物线的焦点，且与 交于 ，两点，则 ___. 8 解析：因为抛物线的焦点坐标为 ，又直线 过点，所以，抛物线的方程为，由 得，所以 ，所以 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 13.设是等比数列的前项和，,, 成等差数列，且 ，则 ____. 10 解析：若，则有，，．但 ，即得 ，与题设矛盾，所以.又依题意 ，可得 ，整理得．由 且 ，得方程，所以，因为 ，所以 .所以，得 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 23 14.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称 号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过 的最大整数，如，．已知实数, 满足 ，，则 ___． 0 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24 解析：由题，即 ， 又，构造函数为增函数， ， ，所以． , ．因为，所以 ， ，设 ，， ，在区 间上，，所以函数在 上单调递减，所 以，所以 ． 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知圆的圆心为，且过点, . （1）求圆 的标准方程；（6分） 解：因为圆的圆心为 ， 且过点 , 所以半径 ， 所以圆的标准方程为 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 （2）直线与圆交,两点，且，求实数 的 值．（7分） 解：设圆心到直线的距离为，因为 ， 所以，解得 ， 所以由圆心到直线的距离公式可得 ， 解得或 ． 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 16.（本小题满分15分）已知 的一个极值点为 2．求： （1）函数 的单调区间；（8分） 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 解：因为，所以 ， 因为 的一个极值点为2， 所以，解得 ， 此时 ， ， 令，得或 ， 令，得；令，得或 ， 故函数在区间上单调递减，在区间， 上单调 递增． 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 29 （2）函数在区间 上的最值．（7分） 解：由（1）知，在上单调递增，在 上单调递减， 所以是函数 的极大值点， 又，， ， 所以函数在区间上的最小值为 ，最大值为13． 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 30 17.（本小题满分15分）已知正项数列满足 且 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 （1）求 的通项公式；（7分） 解：因为 ,所以 ， 所以 ,所以 ， 因为为正项数列，所以，即 ， 所以是以 为首项，1为公差的等差数列， 所以,所以 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 32 （2）设数列的前项和为，是否存在，使 恒成立， 若存在，求出， 的值；若不存在，请说明理由.（8分） 解：因为 ， 所以 ， ， 两式相减得 ， 所以 ， 所以 ， 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 33 又 恒成立， 所以解得 所以存在, 满足条件. 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.（本小题满分17分）已知点为抛物线 的焦点，点 在抛物线上， 的面积为1. （1）求抛物线 的标准方程；（6分） 解：因为点在抛物线上，所以，即 ， ， 因为，所以, ， 抛物线的标准方程为 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 35 （2）设点是抛物线上异于点的一点，直线与直线 交于点 ，过作轴的垂线交抛物线于点，求证：直线 过定点.（11分） 证明：方法一:设直线的方程为, , , ， 由得 ， 所以, ， 由（1）可知 ， 当时，,,，此时直线的方程为 ； 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 36 当时， ， 因为,，三点共线，所以 ， 即 ， 又因为 , 所以 ， , 化简可得 ， 又, ， 所以 ， 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 整理得,即 ， 因为，所以 ， 此时直线的方程为 ， 所以直线恒过定点 . 又直线也过点 ， 综上，直线过定点 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 方法二：设直线的方程为 , ,， 由得 ， 所以 , 当直线 斜率存在时， 直线的斜率 ， 直线的方程为 ， 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 39 即 ， 联立 解得，于是有 , 整理得 . 将式代入上式可得 ， 所以直线的方程为 ， 所以直线过定点 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当直线斜率不存在时，直线的方程为 , 所以点坐标为，点坐标为此时直线的方程为 ， 也过点.综上，直线过定点 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.（本小题满分17分）定义：如果函数在定义域内存在实数 ， 使成立，其中为大于0的常数，则称点 为 函数的级“平移点”.已知函数 . （1）若，求曲线在 处的切线方程；（5分） 解：当时，， . ， . 故曲线在处的切线方程为 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 42 （2）若在上存在1级“平移点”，求 的取值范围.（12分） 解：因为在 上存在1级“平移点”， 所以存在，使 . 由 ， 得 ， 即 ， 即与 图象有公共点，令 ， 则 ， 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 43 所以在 上单调递增， 所以 ， 因为，所以， ， 所以 ， 所以，所以 . 模块综合检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $