第1章 阶段提升（一） 直线的方程及应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件系统梳理了直线的方程及应用单元核心知识，涵盖斜率与倾斜角、五种直线方程形式、距离公式等内容，通过题型分类与知识框架图将知识点逻辑串联，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于结合典型例题与变式训练，如对称问题中通过几何直观分析对称点性质，培养数学思维与推理能力，分层设计单选多选解答题满足不同需求，助力学生巩固知识，为教师复习教学提供精准支持。

阶段提升（一） 直线的方程及应用 1 （范围： ） 阶段提升（一） 1 2 3 4 2 题型一 直线方程 1.（2025·镇江期中）将直线绕点顺时针旋转 得 到直线，则直线 的方程是( ) A. B. C. D. 解析：选C.设直线与的斜率分别为,.由的方程 可知 ，由题意可知，所以，所以，因为 过 点，所以由直线的点斜式方程可知的方程为 ， 即 . √ 阶段提升（一） 1 2 3 4 3 2.（多选）下列说法正确的是( ) A.直线必过定点 B.直线在轴上的截距为 C.过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 D.过点且垂直于直线的直线方程为 √ √ √ 阶段提升（一） 1 2 3 4 4 解析：选.对于A,由得直线过定点 ，故A正确； 对于B，令，得，故在轴上的截距为 ，故B正确；对于C， 过点，且与坐标轴截距相等的直线方程为或 ， 故C错误；对于D，由直线的斜率为，则与 垂直的直线 斜率为，过且斜率为的直线方程为 ,即 ，故D正确. 阶段提升（一） 1 2 3 4 5 3.（2025·成都期中）过定点且与直线 平行的直线 方程为_____________. 解析：设直线方程为 ， 由在直线上，可得，解得 ， 所以直线方程为 . 阶段提升（一） 1 2 3 4 6 4.（2025·淮安期中）已知直线过点 ，且与两条坐标轴的正半轴围成 一个等腰直角三角形，则直线 的方程为______________. 解析：由题意设直线的方程为，且，又直线过点 ，则 ，解得，所以直线的方程为，即 . 阶段提升（一） 1 2 3 4 7 求直线方程的关注点 （1）方法：直接法、待定系数法； （2）关键：掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件 灵活选用方程； （3）注意：当不能确定某种条件是否具备时，要另外讨论条件不满足的情况. 阶段提升（一） 1 2 3 4 8 题型二 直线位置关系的判断 1.已知直线与，则“ ”是 “ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A.当直线与 垂直时， ，即，解得或，所以 可 以推出，但推不出，即“”是“ ”的充分不 必要条件. √ 阶段提升（一） 1 2 3 9 2.（多选）（2025·广州期中）已知直线 ，直线 ，则下列结论正确的是( ) A.在 轴上的截距为1 B.若，则这两条直线间的距离是 C.若，则 D.若与连接点,的线段总有公共点，则直线的倾斜角 的取值范围为,， √ √ √ 阶段提升（一） 1 2 3 10 解析：选.对于A，由 ， 令，可得 ， 即在轴上的截距为 ，故A错误； 对于B，由可得, ，解得 ， 此时， ， 则两条直线间的距离是 ，故B正确； 对于C，由可得，解得 ，故C正确； 阶段提升（一） 1 2 3 11 对于D，因为直线过定点 ， ，，由图可知直线的斜率 ， 则，则,, ，故D正确. 阶段提升（一） 1 2 3 3.（2025·北京期中）已知直线 ， .若，则实数 的值为____. 解析：若，则，解得或 . 当时，直线与 重合，不符合 题意； 当时，直线与 平行，符 合题意. 综上， . 阶段提升（一） 1 2 3 13 （1）当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要 考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还 要注意， 的系数不能同时为零这一隐含条件. （2）在判断两条直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间 的关系得出结论. 阶段提升（一） 1 2 3 14 题型三 距离问题 1.已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是 ，则 ( ) A.10 B.5 C.8 D.6 解析：选A.设，,则,，即, ， 所以 . √ 阶段提升（一） 1 2 3 15 2.（多选）（2025·玉溪期中）已知直线 和直线 的交点为，则过点且与和 距离相等的直线 方程为( ) A. B. C. D. √ √ 阶段提升（一） 1 2 3 16 解析：选.依题意，联立 解得即，直线的斜率为，线段 的中点 坐标为 . ①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为 ， 即 ； ②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为 ，故所求直 线的方程为，即 .综上所述，所求直线 的方程为或 . 阶段提升（一） 1 2 3 17 3.已知直线与直线，在上任取一点 ， 在上任取一点，连接，取的中点，过点作的平行线，则 与 之间的距离为_ ___. 阶段提升（一） 1 2 3 18 解析：如图所示，过点作于点，交直线 于点，则为所求直线与 之间的距离. 因为 ， ， 所以 . 阶段提升（一） 1 2 3 19 三种距离的求解思路 （1）两点间的距离：可直接利用两点间的距离公式求解； （2）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意 此时直线方程必须为一般式； （3）两条平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离 转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间 的距离公式（利用公式前需把两条平行直线方程中<m></m>，<m></m>的系数化为对应相 等的形式）. 阶段提升（一） 1 2 3 20 题型四 对称与最值问题 角度1 中心对称问题 ［例1］ （1）已知不同的两点与关于点 对 称，则 ( ) A. B.14 C. D.5 √ 阶段提升（一） 21 解析：因为两点与关于点 对称，可得 即 解得所以 . 阶段提升（一） 22 （2）直线关于点对称的直线 的方程为___________ _______. 解析：方法一:设直线上任意一点的坐标为，则此点关于点 的对称点为，且点在直线 上，所以 ，即.所以所求直线 的方程 为 . 方法二：在直线上取两点， ，则点 关于点的对称点为，点关于点 的 对称点为.可得直线的方程为 ，即所求直线 的方程为 . 阶段提升（一） 23 方法三：因为点不在直线 上，由平面几何知识易知 所求直线与直线平行，则可设直线 的方程为 . 在直线上取一点 ， 则点关于点的对称点在直线 上， 所以，所以 . 所以所求直线的方程为 . 阶段提升（一） 24 （1）点关于点对称 点关于点的对称点 可利用中点坐标公式求得，由 得 （2）直线关于点对称 直线关于点 对称的直线方程的求法：求出直线 上的两个特殊点，关于点的对称点，的坐标，则直线 的方 程即为所求的直线方程. 阶段提升（一） 25 角度2 轴对称问题 ［例2］ （1）点关于直线 的对称点的坐标为 ___________. ， 解析：设对称点的坐标为 ， 则解得 所以对称点的坐标为, . 阶段提升（一） 26 （2）直线关于直线 对称的直线方程是_________ ______. 解析：在直线上任取一点，设点 关于直线 的对称点为，则解得即 ， 因为点在直线上，所以 ，即所求直线 方程为 . 阶段提升（一） 27 （1）点关于直线对称 设点关于直线的对称点为，则线段 的中点在已知直线上且直线 与已知直线垂直. 即解此方程组可得，，即得点 的坐标. 阶段提升（一） 28 （2）直线关于直线对称 ①若已知直线与已知对称轴相交，则交点必在与直线对称的直线 上， 然后求出直线 上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线 的方程. ②若已知直线与已知对称轴平行，则直线关于对称轴对称的直线 与 直线平行，可以利用直线与对称轴间的距离等于直线 与对称轴间的 距离求解. 阶段提升（一） 29 角度3 利用对称求最值 ［例3］ 已知直线及点，， . （1）试在上求一点，使 最小，并求这个最小值； 【解】设点关于直线的对称点的坐标为 ， 则解得 即 ， 阶段提升（一） 30 则直线的方程为 ， 联立解得 即交点为， ， 此时的值最小，最小值为 . 阶段提升（一） 31 （2）试在上求一点，使 最大，并求这个最大值. 解：设点关于直线的对称点的坐标为 ， 则解得 得，直线的方程为 ， 即，联立 解得即 ， 阶段提升（一） 32 由对称性知，，（当且仅当 ， ， 三点共线时取等号）， 所以上的点，是使 最大的点. 此时的最大值为 . 阶段提升（一） 根据题目条件求距离的最大值及最小值是解析几何的一个重要问题，解决 此类问题主要有两种方法： （1）代数法：把距离表示为某个变量的函数，转化为函数的最值问题. （2）几何法：由几何图形指出哪种状态下有最大值和最小值，进而求出 最大值和最小值.一般来说，当两点，在直线 的两侧时，可利用三点共 线求出的最小值；当两点，在直线 的同侧时，可利用三点共 线求出 的最大值. 阶段提升（一） 34 ［跟踪训练］ （1）（2025·盐城期中）已知直线 ，则点 关于直线的对称点 的坐标为( ) A. B. C. D. √ 阶段提升（一） 35 解析：选B.设，则的中点,，且，由， 两点关于直线对称，且 ， 则 解得即 . 阶段提升（一） 36 （2）（2025·烟台期中）已知直线与直线 关于点对称，则实数 的值为( ) A.2 B.6 C.-2 D. 解析：选A.由于直线与直线关于点 对称，所以两直线平行，故，则，由于点 在直线 上，点关于点的对称点为 ， 故点在直线上，代入可得，故 . √ 阶段提升（一） 37 （3）直线关于直线 对称的直线方程为___________ . 解析：设所求直线方程为，且，,直线 与 直线间的距离为，则直线 与直线 间的距离为，解得 ，所以所求直线方程为 . 阶段提升（一） 38 （4）光线从点射到轴上，经轴反射后经过点 ，则光线 从到 的路程为______. 解析：点关于轴的对称点,则光线从到 的路程即 的长，.即光线从到 的路程 为 . 阶段提升（一） 39 $