5.2.1 基本初等函数的导数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数运算，通过高铁瞬时速度问题导入，衔接导数定义的运算复杂性，引导学生用定义推导常函数、二次函数等简单函数的导数，构建从具体问题到抽象公式的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点在于以问题驱动和分层探究培养核心素养，通过定义推导公式培养数学思维，切线方程求解体现数学语言严谨性，氡气剩余量问题让学生用数学眼光观察现实。小结强调“先化简再求导”原则，帮助学生构建体系，教师可借助实例提升教学效率，学生能深化理解并激发探究兴趣。

第5章 导数及其应用 1 5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 2 高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷，设一高铁走 过的路程单位：关于时间单位：的函数为 ,求它的瞬时速 度，就是求的导数.根据导数的定义，就是求当时， 所趋近的 那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如, 很难运用定 义求导数.今天让我们来一探究竟. 返回导航 新课导入 3 1.能应用导数的定义求几个常用函数的导数． 2.掌握基本初等函数的求导公式． 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 基本初等函数的求导公式 思考1 导（函）数的定义式是什么？ 提示 . 返回导航 7 思考2 试利用导数的定义分别求解,, 的导数. 提示 利用 分别代入： ; ; . 返回导航 8 ［知识梳理］ 1.几个常用函数的导数 函数 导数 ,为常数 ①___ 为常数 ②___ ③___ ④____ ⑤_____ 返回导航 9 函数 导数 ⑥_ ____ ⑦_ ___ 续表 返回导航 10 2.基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 为常数 ,且 ,且 返回导航 11 ［例1］ （1）下列求导数运算中正确的是( ) A. B. C. D. 解析：对A，，故A错误；对B， ，故B错误；对C， ，故C错误；对D， ，故D正确. √ 返回导航 12 （2）已知函数，则 ( ) A. B. C.1 D. 解析：因为，所以 ， 所以 . √ 返回导航 13 用公式求函数导数的方法 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. （2）对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可 以直接应用公式的基本函数的模式，如<m></m>可以写成<m></m>，<m></m> 可以写成<m></m>等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在 求导过程中出现指数或系数的运算失误. 返回导航 14 ［跟踪训练1］ （1）若 ，则 ( ) A. B. C.1 D.0 解析：选D.因为函数 是常函数，所以 . （2）设，，， ， ，，则 _______. 解析：由已知得，，， ， ，， ，依次类推可得，函数呈周期变化， 且周期为4，则 . √ 返回导航 15 二 利用导数研究曲线的切线方程 ［例2］ （对接教材）已知函数 . （1）求该函数在 处的切线方程； 【解】当时，，所以此时切点为，由 可 得 ， 所以切线的斜率 ， 则利用点斜式方程可得到，即 . 返回导航 16 （2）求该函数过原点的切线方程. 【解】显然当切线斜率不存在时，不合题意； 故设切线方程为，切点，斜率 ， 所以，将切点代入得，又因为切点在 上， 所以当时，，即切点为 ， 斜率，所以切线方程为 ， 即 . 返回导航 17 （1）利用导数的几何意义解决切线问题的情况 ①若已知点是切点,则曲线在该点处的切线的斜率就是曲线在该点处的导数； ②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解. （2）求过点 与曲线相切的直线方程的步骤 返回导航 18 ［跟踪训练2］ （1）求函数在 处的切线方程. 解：因为 ， 则 ， 则， ， 因此，函数在处的切线方程为 ，即 . 返回导航 19 （2）已知曲线，求曲线过点 的切线方程. 解：因为点不在曲线 上. 所以设切点为 ， 因为，则切线的斜率 . 又切线的斜率 ， 所以，即，所以， ，所以切线方程为 ，即 . 返回导航 20 三 导数公式的实际应用 ［例3］ 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有1单 位氡气，那么天后，氡气的剩余量为 单位.（参考数据： , ） （1）氡气的散发速度是多少？ 【解】氡气的散发速度就是剩余量函数的导数， 因为，所以 . 返回导航 21 （2）的值是什么（精确到 ）？它表示什么意义？ 【解】因为 ， 所以 . 它表示在第7天附近，氡气大约以0.051单位/天的速度自然散发. 返回导航 22 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量在某一时刻的 变化速度，就是求相关函数在某点处的导数. 返回导航 23 ［跟踪训练3］ 从时刻开始的秒内，通过某导体的电量单位： 可 以由公式表示.求第5秒和第7秒时的电流强度单位： . 解：由得 ， 所以， ， 即第5秒和第7秒时的电流强度分别是， . 返回导航 24 PART 02 课堂巩固 自测 25 1.（多选）下列选项正确的是( ) A.，则 B.，则 C.，则 D.，则 解析：选.对于A，，故A错误；对于B，因为 ，所以 ，故B正确；显然C，D正确. √ √ √ 返回导航 26 2.已知函数，则曲线在 处的切线的倾斜角为 ( ) A. B. C. D. 解析：选B.，则，即切线斜率为 ， 因为直线的倾斜角的取值范围是，所以该切线的倾斜角为 . √ 返回导航 27 3.已知,.若，则 __. 解析：, ， 由 , 得,解得 . 返回导航 28 4.不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体.已知氯化钠 晶体为立方体形状，当立方体的棱长变化时，其体积关于 的变化率是立 方体表面积的__倍. 解析：立方体的体积 ，表面积 .因为 ， 所以其体积关于的变化率为，是立方体表面积的 倍. 返回导航 29 1.已学习：基本初等函数的求导公式. 2.须贯通：（1）利用公式求导时，一般遵循“先化简，再求导”的原则. （2）导数公式求解切线问题和实际问题. 3.应注意：易混淆指数函数，且与幂函数 为常数 的求导公式. 返回导航 30 $