5.1.2 第1课时 曲线上一点处的切线、瞬时速度与瞬时加速度-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“瞬时变化率——导数”第1课时，核心内容包括曲线割线与切线、平均速度、瞬时速度及瞬时加速度。通过“区间测速”生活实例导入，从平均速度的局限性过渡到瞬时速度的需求，搭建从具体到抽象的认知支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活（区间测速实例），用数学思维（无限逼近）推导切线斜率与瞬时变化率，结合物理问题（瞬时速度、加速度）用数学语言表达。例题与跟踪训练结合，总结解题步骤，助力学生形成结构化知识，提升抽象思维与应用能力，为教师提供逻辑清晰、资源丰富的教学支持。

第5章 导数及其应用 5.1 导数的概念 1 5.1.2 瞬时变化率——导数 第1课时 曲线上一点处的切线、瞬时速度与瞬时加速度 2 你有过这样的生活体验吗？当你和家人乘车行驶在公路上时，导航提 示：前方500米有测速！在高速路上经常看到“区间测速”这样的提醒，这 其实是在提醒司机安全驾驶，它的工作原理是利用车辆经过两个测速监控 点的时间差，计算出这段距离之内的平均速度.有意思的是，区间测速并不 能准确反映汽车在某一时刻有没有超速，大家有没有更好的主意呢？ 返回导航 新课导入 3 1.会求函数在某点处的切线方程． 2.理解平均速度、瞬时速度、瞬时加速度的概念. 3.会求实际问题中的瞬时速度和瞬时加速度． 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 曲线的割线 思考 曲线割线的斜率和平均变化率有什么关系？ 提示 曲线上过两点， 的割线的斜率就是函数 在区间 上的平均变化率. 返回导航 7 ［知识梳理］ 设曲线上一点，过点的一条割线交曲线 于另一点 ，则割线的斜率为 . ［例1］ 已知曲线上两点， ，当 时，割线的斜率是___；当时，割线 的斜率是____． 5 4.1 解析：当时，割线 的斜率 ； 当时，割线的斜率 . 返回导航 8 一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的 割线.平均变化率的几何意义就是曲线的割线的斜率. 返回导航 9 ［跟踪训练1］ 曲线过点， 的割 线的斜率为________. 解析：因为 ， 所以 . 返回导航 10 二 曲线的切线 ［知识梳理］ 如图，设为曲线上不同于的一点，这时，直线 称为曲线的①______．随着点沿曲线向点 运动，割线 在点附近越来越②______曲线.当点 ③__________点 时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线 ，这 条直线称为曲线在点 处的④______． 割线 逼近 无限逼近 切线 返回导航 11 点拨 （1）当时，割线的斜率称为曲线在点 处的切线的斜 率，这样就提供了求曲线上在某点处的切线斜率的一种方法. （2）曲线在某点处的切线：①与该点的位置有关.②要根据割线是否有极 限位置来判断与求解.若割线有极限位置，则在此点有切线，且切线是唯一 的；若割线不存在极限位置，则曲线在此点处无切线.③曲线的切线，并不 一定与曲线只有一个交点，可以有多个交点. 返回导航 12 ［例2］ （对接教材例5）用割线逼近切线的方法，求曲线 在 处的切线斜率． 【解】 设，，则割线 的斜率为 .当无限趋近于0时， 无限趋近于常数 ，从而曲线在处的切线斜率为 . 返回导航 13 用割线逼近法求曲线在某点处的切线斜率的步骤 （1）取点<m></m>附近一点<m></m>; （2）求割线<m></m>的斜率； （3）当<m></m>时，求<m></m>趋近于某一个常数<m></m>,<m></m>即为曲线在点<m></m> 处的切线斜率. 返回导航 14 ［跟踪训练2］ 用割线逼近切线的方法，求曲线在 处切线的 斜率. 解：设，，,,则割线 的斜率为 . 当无限趋近于0时，无限趋近于常数 , 从而曲线在处切线的斜率为 . 返回导航 15 三 平均速度与瞬时速度 ［知识梳理］ 1.平均速度 在物理学中，运动物体的位移与①__________的比称为平均速度． 所用时间 点拨 （1）平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段 位移或一段时间相对应． （2）平均速度是矢量，其方向与一段时间内发生的位移方向相同，与运 动方向不一定相同． 返回导航 16 2.瞬时速度 一般地，如果当无限趋近于0时，运动物体位移 的平均变化率 无限趋近于②__________，那么③__________称为物体在 ④_______时的瞬时速度，也就是位移对于时间的⑤____________． 一个常数 这个常数 瞬时变化率 点拨 瞬时速率是标量，只有大小，没有方向，而瞬时速度是矢量，即是 位移对时间的瞬时变化率，既有大小，又有方向，其大小是瞬时速率，方 向是该点在运动轨迹上的切线的方向． 返回导航 17 ［例3］ 物体的运动路程单位：与时间单位： 的关系可用函数 表示，求物体在 时的瞬时速度． 【解】 在到的时间内，物体的平均速度 ，所以当无限趋近于0时， 无限趋 近于3， 所以在 处的瞬时变化率为3. 即物体在时的瞬时速度为 . 返回导航 18 求运动物体瞬时速度的步骤 （1）求时间改变量<m></m>和位移改变量<m></m>; （2）求平均速度<m></m>; （3）求瞬时速度，当<m></m>无限趋近于0时，<m></m>无限趋近于常数<m></m>，<m></m>即为运动 物体在<m></m>时刻的瞬时速度. 返回导航 19 ［跟踪训练3］ （1）某质点的运动方程是，其在区间 上的平均速度为3，则实数 的值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析：选D.根据题意，该质点在区间 上的平均速度为 ，则有，解得 . √ 返回导航 20 （2）一质点按运动方程做直线运动位移单位： ，时间 单位:，若质点在时的瞬时速度为，求常数 的值. 解：质点在时的瞬时速度即为函数在 处的瞬时变化率. 因为质点在 附近的平均变化率为 , 所以当无限趋近于0时，无限趋近于，所以 ， 解得 . 返回导航 21 四 瞬时加速度 ［知识梳理］ 一般地，如果当无限趋近于0时，运动物体速度 的平均变化率 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 时的瞬 时加速度，也就是速度对于时间的____________． 瞬时变化率 点拨 瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对 于时间的瞬时变化率． 返回导航 22 ［例4］ 一质点的运动速度单位： 是时间单位： 的函数，且 ，则当无限趋近于0时， 表示( ) A.时的速度 B. 时的加速度 C.时的位移 D. 时的平均速度 解析：当无限趋近于0时，表示 时的加速度． √ 返回导航 23 瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表示速度变化 快慢的物理量． 返回导航 24 ［跟踪训练4］ 一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且前5秒内的速度 单位：与时间单位： 的关系可近似地表示为 ，则汽车在 时的瞬时加速度为( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题意得， ， 当无限趋近于0时，无限趋近于 , 则汽车在时的瞬时加速度为 . √ 返回导航 25 PART 02 课堂巩固 自测 26 1.已知曲线上一点，，则曲线在点 处的切线的倾斜角 为( ) A. B. C. D. 解析：选B.因为点在曲线 上， 所以，当无限趋近于0时， 无限趋近 于1，即曲线在点处的切线的斜率为1，故倾斜角为 . √ 返回导航 27 2.某物体的运动速度与时间的关系为，则该物体在 时 的加速度为( ) A.2 B. C.8 D. 解析：选C.由题意知，，当 无限趋近 于0时，无限趋近于，则该物体在 时的加速度为8. √ 返回导航 28 3.已知曲线在点处的切线斜率为，则实数 的值是( ) A. B.1 C. D.2 解析：选 ， 因为当无限趋近于0时，无限趋近于 ， 所以曲线在点处的切线斜率 ， 所以，即 . √ 返回导航 29 4.某物体的运动路程单位:与时间单位： 的关系可用函数 表示，则物体在____时的瞬时速度为 . 解析：设物体在时的瞬时速度为 ， 又 ， ， 则,所以 ， 则物体在时的瞬时速度为 . 返回导航 30 1.已学习：（1）曲线的割线和切线.（2）平均速度.（3）瞬时速度与瞬时 加速度. 2.须贯通：用无限逼近的思想求在一点处的切线、及瞬时速度和瞬时加速度. 3.应注意：瞬时速度、瞬时加速度的物理意义. 返回导航 31 $