4.3.2 等比数列的通项公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦等比数列通项公式及性质，通过拉面师傅拉面条的情境导入，从具体数列1,2,4,...128抽象出等比数列特征，类比等差数列推导方法构建知识支架，衔接旧知。 其特色是用生活实例培养数学眼光，通过性质推导与多方法设项（如例3设数法）发展数学思维，结合方程思想和性质应用强化数学语言表达。学生能深化公式理解与应用，教师可借助系统例题提升教学效率。

第4章 数列 1 4.3 等比数列 4.3.2 等比数列的通项公式 2 拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此 反复几次，就拉成了许多根细面条.这样拉抻、捏合8次后可拉出多少根细 面条？ 第1次是1根， 第2次捏合成 （根）； 第3次捏合成 （根）； …… 返回导航 新课导入 3 第8次捏合成 （根）； 前8次捏合成的面条根数构成一个数列1，2，4，8，16，32，64，128.这个 数列具有什么特点？本节课我们一起来探究. 返回导航 新课导入 4 1.掌握等比数列通项公式的推导过程，掌握等比数列的通项公式． 2.理解等比数列与指数函数的关系． 3.能够运用等比数列的性质解决相关问题． 返回导航 学习目标 5 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 6 PART 01 新知学习 探究 7 一 等比数列的通项公式 思考 类比等差数列通项公式的推导过程，试根据等比数列的定义推导它 的通项公式. 提示 设一个等比数列的首项是,公比是 ,则由定义可知 且 . 方法一: ,当 时，上式也成立. 返回导航 8 方法二： , , , … 由此可得,当 时，上式也成立. 返回导航 9 ［知识梳理］ 一般地，对于等比数列的第项，有 .这就是等比 数列 的通项公式，其中①____为首项，②___为公比. 返回导航 10 ［例1］ （对接教材例4）在等比数列中，公比为 ． （1）若，，求 ； 【解】因为， ， 所以 . （2）若，，求和 ； 【解】由题知，，解得 ,所以 . 返回导航 11 （3）若，，，求项数 ； 【解】由题可知，，即 , 所以，所以 . 返回导航 12 （4）已知，，求 ． 【解】在等比数列 中， 因为， ， 所以 两式相除并化简得， ，解得或 ， 当时，，则 ; 当时，，则 . 综上，或 ． 返回导航 13 关于等比数列基本量的运算 （1）基本量：<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>； （2）联系：基本量之间的联系就是通项公式<m></m>，将条件列出后 采用代入、等式相除、整体构造等方法计算. 返回导航 14 ［跟踪训练1］ 在等比数列 中， 解：设数列的首项为,公比为 . （1）若它的前三项分别为5,,45,求 ; 因为,而, , 所以 . （2）若,求公比 . 显然.由已知得,即 ,解得 或 . 解：设数列的首项为,公比为 . 返回导航 15 二 等比数列的性质 ［知识梳理］ 1.如果 ,则有①________________. 2.如果 ,则有②_____________. 3.如果，均为等比数列，且公比分别为,,那么数列 ， ，，仍是等比数列，且公比分别为,,, . 4.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两 项之积等于首末两项的积，即 . 返回导航 16 ［例2］ （1）已知数列是等差数列，数列 是等比数列， ，且，则 ( ) A. B. C. D. √ 返回导航 17 解析：因为数列是等差数列，且 ，所以 ，可得 ，则 . 因为数列是等比数列，所以，又 ， 所以，所以 ， 所以 ， 所以 . 返回导航 （2）已知公比为的等比数列的各项都是正数且 ，则 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：因为,所以 . 又因为,所以 ， 所以 , 所以 . √ 返回导航 19 （3）若等比数列的各项均为正数且 ,则 ____. 50 解析：根据等比数列的性质可得,所以 .令 ,则 . 返回导航 20 利用等比数列的性质解题的基本思路 （1）充分发挥项的下标的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系， 选择恰当的性质解题. （2）在等比数列的有关运算中，往往是建立关于<m></m>,<m></m>的方程组求解，常 常涉及次数较高的指数运算，解起来很麻烦.此时，若利用等比数列的性质 求解，往往可使问题简单明了. （3）利用条件构造等比数列，但要弄清楚所求的是第几项. 注意 在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前 提条件. 返回导航 21 ［跟踪训练2］ （1）在等比数列中，，则 的最小值 是( ) A.12 B.24 C.36 D.48 解析：选B.设的公比是，则， . 因为，所以， . 由等比数列的性质可得 ， 则，当且仅当 时，等号 成立. √ 返回导航 22 （2）已知数列，满足.其中 是等差数列， 若，则 _______. 1 012 解析：因为为等差数列，设公差为，则 , ，，则，故 为等比数 列， 所以 ， 所以 . 返回导航 23 三 等比数列通项公式的应用 ［例3］ 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个 数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数. 返回导航 24 【解】 方法一:设前三个数分别为，， ，则第四个数为 . 由题意得 解得或 故这四个数为3，6，12，18或，，， . 返回导航 25 方法二：设后三个数分别为，，，则第一个数为 ，因此 这四个数为，，， . 由题意得 解得或 故这四个数为3，6，12，18或，，， . 返回导航 26 方法三:设第一个数为，则第四个数为 ， 设第二个数为，则第三个数为 ， 则这四个数为，，， . 由题意得 解得或 故这四个数为3，6，12，18或，，， . 返回导航 27 灵活设项求解等比数列的技巧 （1）三个数成等比数列，一般可设为<m></m>，<m></m>,<m></m>. （2）四个数成等比数列，一般可设为<m></m>,<m></m>，<m></m>,<m></m>或<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>，但前 一种设法的公比为<m></m>,只适合数列的各项同正或同负. （3）五个数成等比数列，一般可设为<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>. 返回导航 28 ［跟踪训练3 ］ 若四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13 后所得的数成等差数列，求这四个数. 解：设所求的四个数分别为,,，,则,, , 成等差数列. 所以 所以解得 因此这四个数为3，6，12，24. 返回导航 29 拓视野 由等比数列衍生新数列 ［典例］ （多选）已知 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的 是( ) A. B. C. D. 解析：不妨设等比数列的公比为 . 对于A，不妨取数列展开为2，4,8,16， ,则 展开为3,5,9,17， ，显然不是等比数列，故A不符合题意；对于B，由 ， 则数列为等比数列，故B符合题意；对于C，由 ， 则数列为等比数列，故C符合题意；对于D，当 时，数列 为首项为0的常数列，显然不是等比数列，故D不符合题意. √ √ 返回导航 30 （1）若数列，（项数相同）是等比数列，则, , ,, 仍然是等比数列； （2）在等比数列中，公比为 ,等距离取出若干项也构成一个 等比数列，即,,,, 为等比数列，公比为 . 注意 由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0， 主要是针对 的情况. 返回导航 31 ［练习］ 设是各项为正数的无穷数列，是边长为， 的矩形的 面积，则数列 为等比数列的充要条件是( ) A. 是等比数列 B.，， ，， 或，， ，， 是等比数列 C.，， ，， 和，， ，， 均是等比数列 D.，， ，， 和，， ，， 均是等比数列，且 公比相同 √ 返回导航 32 解析：选D.因为是边长为，的矩形的面积 ，所以 ，则数列的通项公式为 . 根据等比数列的定义，数列 为等比数列的充要条件是 （常数且大于0）． 返回导航 33 PART 02 课堂巩固 自测 34 1.在等比数列中，若，，则 ( ) A.27 B.9 C.81 D.3 解析：选C.设等比数列的公比为 ， 由已知得 ，所以 . √ 返回导航 35 2.已知数列满足，，则 的值为( ) A. B. C. D. 解析：选C.由，，易知，故 ，故 是首项为，公比为4的等比数列， ， ，故 . √ 返回导航 36 3.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式 _ _______________________． ① ； ② . （答案不唯一） 解析：依题意，是等比数列，设其公比为，由于 ，所 以 ， 由于，所以 ， 所以 符合题意. 返回导航 37 4.设是公比不为1的等比数列，为， 的等差中项. （1）求 的公比； 解：设的公比为，因为为, 的等差中项， 所以,,所以 , 因为,所以 . （2）若，，求 . 【解】因为， ，由等比数列的性质可得： ，所以 . 所以 . 返回导航 38 1.已学习：（1）等比数列的通项公式. （2）等比数列中的基本计算. 2.须贯通：解决等比数列的问题，通常考虑两种方法： （1）基本量法：利用等比数列的基本量， ，先求公比，后求其他量. （2）等比数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距 离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到. 3.应注意：求解等比数列问题要注意项的符号,做到不重不漏. 返回导航 39 $