3.2.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

课后达标检测 1 1.过双曲线的左焦点和点的直线与双曲线 的交 点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：选B.由题意得，则直线的斜率，故直线 的方程为，而双曲线的渐近线方程为 ， 则直线与直线平行，且过双曲线的左焦点，故直线与双曲线 的交点个数是1. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.过双曲线的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于， 两点，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题知，直线的方程为 ，① 设，, ， 将①代入双曲线方程消去得， . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 方法一:解得， . 将，代入①，得， ， 故 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 方法二：则, , 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 3.已知双曲线与直线 有交点，则双曲线离心率的取值范 围为( ) A. B. C. D. 解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得 ，所 以 ，即双曲线离心率的取值范围为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 4.已知双曲线的下焦点和上焦点分别为, ，直线 与交于，两点，若的面积是 面积的4倍，则 ( ) A.3 B. C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 解析：选D.由可知，,联立 整理得，则 ，即 ，由的面积是面积的4倍可知，到直线 的距离 是到直线的距离的4倍，即 ，化简可得 ，即，解得 或 （舍去）. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 5.已知直线与双曲线 交于 ，两点，点是弦的中点，则双曲线 的渐近线方程是( ) A. B. C. D. 解析：选B.设，，可得， ，两式 相减可得，由点是弦 的中点，且直 线，可得，， ， 则，即，双曲线的渐近线方程为 .经验证此时直线 与双曲线有两个交点，符合题意. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 6.（多选）已知直线经过双曲线 的左焦点，且 与交于，两点，若存在两条直线，使得 的最小值为4，则下列四 个点中， 经过的点为( ) A. B. C. D. 解析：选.若直线与的两支交于顶点，，则，若直线 与的一支交于，两点，则通径最短， ，由题意得 ，解得，则的方程为 ，经验证B，D选 项表示的点不在双曲线上，A，C选项表示的点在双曲线上. √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 7.若过点且斜率为的直线与双曲线 仅有一个交点， 则实数 ____________. 或 解析：设直线的方程为，联立 整理得 ， 当时，，得 ，符合题意； 当，即时，由，得 ，符合题意， 综上可知，或 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 8.已知双曲线，若过右焦点的直线交双曲线的右支于, 两点，且，则直线 的方程为_____________________________ __________________. 或 解析：当直线 斜率为0时，显然不符合题意，所 以直线的斜率不为0，设直线 的方程为 ，， ，联立 消去 整理得 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 易知,则 ,故 ， 解得，则或，故直线的方程为 或 . ，则 ， ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.（2025·东营期末）过双曲线内一点 ， 且斜率为的直线交双曲线于,两点，弦恰好被平分，则双曲线 的 离心率为____. 解析：设， , 由题意可得， ， 且 ， 又因为所以 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 即有 ， 所以，所以 ， 所以 ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 10.（13分）已知双曲线 的一个焦点为 ，一条渐近线方程为， 为坐标原点. （1）求双曲线 的标准方程；（5分） 解：由题意知, ， 由可得 ， 解得, ， 故双曲线的标准方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于,两点，且线段 的中点 的纵坐标为4，求 .（8分） 解：设,,中点的坐标为，则 两式 相减得 ，化简得 ，即直线 的斜率 ，所以 ， 所以中点的坐标为 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 所以直线的方程为 ， 即 . 将代入 得， ， , 则, ， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知双曲线的一个焦点为，过的直线与双曲线 的同 一支交于，两点，且，则线段 的长度为( ) A. B.9 C. D.6 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 解析：选C.由题可知，， ， ，则不妨令 ，根据 对称性设过 的直线为 ,，联立 可得 设，，则， ， ，则 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 由，可得 ， 即有 ，② 由①②可得， ， 所以 ， 解得（负值已舍去）， ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知双曲线的左焦点为，离心率为 ，直 线分别与的左、右两支交于点，.若 的面积为 ， ，则 的最小值为___. 7 解析：设双曲线的右焦点为 ，如图，连 接，，由对称性知四边形 为平行四边形， 故， ， 由题意 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 ， 由面积公式得，解得 ， 由双曲线定义知 ， 在 中， , 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得 ，故 ，当且仅当 ，即 时等号成立. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.（13分）已知点，，动点满足直线与 的 斜率之积为2.记点的轨迹为曲线 . （1）求 的方程；（5分） 解：由题意，显然 ， 所以的方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 （2）若，是曲线上两点，试判断点能否为线段 的中点，如 果能，求出直线 的方程；如果不能，请说明理由.（8分） 解：假设,在曲线上，且线段中点为 ，当 时， ， 所以，则 ， 所以直线的方程为 ， 即，联立 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 整理得，解得或，但这与且 , 矛盾，故 不符合题意； 当时，根据双曲线的对称性可知，线段的中点应该为 ， 这与线段中点为 矛盾. 综上所述，若，是曲线上两点，点不能为线段 的中点. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.（15分）（2025·滁州期中）已知双曲线 的离心率是 ，焦距为6. （1）求 的方程；（5分） 解：由题可知，，解得， ，所以 . 所以的方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 28 （2）若直线与相交于，两点，且 （为坐标原点），求 的值.（10分） 解：设， ， 联立 消去得 ， 因为直线与相交于， 两点， 所以 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 即且 ， 则， ， 又， ， 所以 ，所以 ，则 ， 即，解得，满足且，所以的值为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知点，，是离心率为的双曲线 上 的三点，直线,,的斜率分别是,,，点，， 分别是线段 ,,的中点，为坐标原点，直线,,的斜率分别是， , 若，则 ___. 3 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 解析：因为双曲线 的离心率为，所以 ， 不妨设,， ， 因为点,在 上， 所以 两式相减， 得 ， 因为点是的中点，所以， ， 所以 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 即 ， 所以 ， 同理， . 因为，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $